Question

【題目】如圖甲所示，以兩虛線M、N為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，M、N間電壓UMN的變化圖象如圖乙所示，電壓的最大值為U0、周期為T0；M、N兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．t=0時(shí)，將一帶正電的粒子從邊界線M上的A處由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期也為T0 ． 兩虛線M、N間寬度很小，粒子在其間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，也不考慮粒子所受的重力．

（1）求該粒子的比荷；
（2）求粒子第1次和第2次從右向左經(jīng)邊界線N離開磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ時(shí)兩位置間的距離△d；
（3）若粒子的質(zhì)量增加，電荷量不變，t=0時(shí)，將其在A處由靜止釋放，求t=2T0時(shí)粒子的速度．

Answer 1

【答案】
（1）解：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T= ，

解得：R= ，T= ，周期與半徑、速率無關(guān)，

由題可知：T=T0，解得： = ；

答：該粒子的比荷為 ；

（2）由于不計(jì)粒子穿越MN間的時(shí)間，則可認(rèn)為t=0時(shí)刻出發(fā)的粒子穿越MN的過程中電壓始終為U0，

t= T0時(shí)刻第1次自右向左穿過邊界線N時(shí)再加速一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度為v1，

即區(qū)域ⅠⅡ勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周時(shí)間T0共被加速2次，

由動(dòng)能定理得：2qU0= mv12，

第2次自右向左到達(dá)邊界線N（沒到M）時(shí)被加速3次，速度設(shè)為v2，

由動(dòng)能定理得：3qU0= mv22，

如右圖所示，第1、2兩次到達(dá)邊界N的位置距離為△d：

△d=2（R2﹣R1）=2（ ﹣ ）

解得：△d=2（ ﹣ ） ；

答：粒子第1次和第2次從右向左經(jīng)邊界線N離開磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ時(shí)兩位置間的距離△d為2（ ﹣ ） ；

（3）粒子的質(zhì)量增加，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T′= ，

因?yàn)門0=則粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)椋篢′=T0

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期增加△T=T0

每半個(gè)周期為T=T0，增加T0

從t=0開始到t=2T0為止的時(shí)間內(nèi)，根據(jù)加速電壓圖象可知粒子共加速了4次，

且加速電壓分別為：U0、 U0、 U0、 U0

由動(dòng)能定理得： mv2=q（1+ + + ）U0，

解得：v= = ；

答：若粒子的質(zhì)量增加，電荷量不變，t=0時(shí)，將其在A處由靜止釋放，t=2T0時(shí)粒子的速度為 ．

【解析】（1）根據(jù)帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力由洛倫茲力提供，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子的比荷．
（2）第1次自右向左穿過邊界線N后再加速一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，共被加速2次；第2次自右向左穿過邊界N時(shí)被加速3次，結(jié)合動(dòng)能定理求出速度的大小，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出粒子第1次和第2次從右向左經(jīng)邊界線N離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)兩位置間的距離△d．
（3）根據(jù)粒子質(zhì)量的變化，得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期的變化，確定出粒子加速的次數(shù)和加速的電壓大小，結(jié)合動(dòng)能定理求出t=2T0時(shí)粒子的速度．