Question

如圖所示，兩根水平金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置，相距為d，在導(dǎo)軌右端跨接一定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．一長(zhǎng)度為d、質(zhì)量m、電阻為r的金屬棒ef垂直于導(dǎo)軌靜止放置，且與導(dǎo)軌保持良好接觸．整個(gè)裝置處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．金屬棒在受到水平向右的瞬時(shí)沖量作用后沿導(dǎo)軌滑行s后再次靜止，測(cè)得此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q．已知棒與兩導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，求：
（1）金屬棒的初速度v₀；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）若其他條件不變，僅將磁場(chǎng)方向變?yōu)樾毕蛏锨遗c水平方向的夾角為α（圖中虛線所示）．求金屬棒受到水平向右的瞬時(shí)沖量作用后獲得初速度v₀時(shí)沿導(dǎo)軌滑行的加速度a．

Answer 1

分析：（1）金屬棒向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，R上產(chǎn)生電熱為Q，由焦耳定律和串聯(lián)關(guān)系求出金屬棒產(chǎn)生的電熱，根據(jù)能量守恒求解金屬棒的初速度v₀；
（2）根據(jù)感應(yīng)電荷量q=

△Φ

R+r

和動(dòng)量定理結(jié)合，即可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．
（3）分析金屬棒的受力情況，推導(dǎo)出安培力，由牛頓第二定律求加速度a．

解答：解：（1）由焦耳定律得知，金屬棒上產(chǎn)生的電熱為 

r

R

Q
根據(jù)能量守恒有：

1

2

mv₀²=μmgs+Q+

r

R

Q
解得金屬棒的初速度：v₀=

2μgs+ 2(R+r) mR Q

（2）在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電量為：q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R+r

，

.

E

=

△Φ

△t

，
則得：q=

△?

R+r

=

Bds

R+r

根據(jù)動(dòng)量定理得：Bdq+μmgt=mv₀
解得金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

v0

μg

-

B2d2s

μmg(R+r)

（3）金屬棒的受力如圖所示．
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=Bdv₀sinα
感應(yīng)電流：I=

E

R+r

根據(jù)牛頓第二定律有：BIdsinα+μ（mg-BIdcosα）=ma
解得：a=

B2d2sinα(sinα-μcosα)

m(R+r)

v0+μg，其方向與v₀相反．
答：
（1）金屬棒的初速度v₀是

2μgs+ 2(R+r) mR Q

．
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是

v0

μg

-

B2d2s

μmg(R+r)

；
（3）金屬棒受到水平向右的瞬時(shí)沖量作用后獲得初速度v₀時(shí)沿導(dǎo)軌滑行的加速度a為

B2d2sinα(sinα-μcosα)

m(R+r)

v₀+μg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用動(dòng)量定理和感應(yīng)電荷量表達(dá)式q=

△?

R+r

=

Bds

R+r

求時(shí)間t，要理解并會(huì)正確推導(dǎo)此式，這在電磁感應(yīng)中常常用到．