Question

如圖所示，ABDO是固定在豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15 m的四分之一圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15 m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央．AB和BDO相切于B點(diǎn)．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小等于其重力大小的倍．取g=10m/．

（1）求高度H；

（2）試討論此球能否到達(dá)BDO軌道的最高點(diǎn)O；

（3）求小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落到軌道上的速度大小．

Answer 1

（1）10m     (2)能夠通過(guò)最高點(diǎn)      （3）10m/s

解析:

  （1）小球從H高處落下，進(jìn)入軌道，沿BOD軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，小球受重力和軌道的支持力． （設(shè)小球在D點(diǎn)時(shí)的速度為v，通過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力等于（大小等于小球?qū)�軌道的壓力）它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即

           ………．．①（2分）

       小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有

          ………．．②（2分）

       由①②式可解得高度    ………．．（2分）

（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速度為，有

           ………．．③（1分）

       設(shè)小球至少應(yīng)從高處落下，

          ………．．④（1分）

       由③④可得

       由，小球可以通過(guò)最高點(diǎn)．   ………．．（2分）

（3）小球由H高落下通過(guò)O點(diǎn)的速度為   ………（2分）

       小球通過(guò)O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)過(guò)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，建立坐標(biāo)系

                                          ………．．⑤（1分）

                                        ………．．⑥（1分）

       又由幾何關(guān)系                  ………．．⑦（1分）

       由⑤⑥⑦可解得時(shí)間（另解舍去）

       小球落到軌道上的速度的大小為（2分）