Question

3．由中國航天科技集團(tuán)公司五院自主研制的電推進(jìn)系中2015年1月2日取得重要成果；電推進(jìn)系統(tǒng)在試驗中已突破6000小時，開關(guān)機(jī)3000次，具備確保該衛(wèi)星在軌可靠運(yùn)行15年的能力，如圖所示為應(yīng)用該系統(tǒng)的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球做勻速圓周運(yùn)動的示意圖，其中b、c都在半徑為r的軌道上，a是地球同步衛(wèi)星，此時a、b恰好相距最近，已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，萬有引力常量為G，則（　�。�

• A． 衛(wèi)星b的周期小于24小時
• B． 衛(wèi)星b和c的機(jī)械能相等
• C． 到衛(wèi)星a和b下一次相距最近，還需經(jīng)過時間t=$\frac{2π}{{ω-\sqrt{\frac{GM}{r^3}}}}$
• D． 衛(wèi)星a的動能較大

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，據(jù)此由半徑關(guān)系分析周期大小及線速度關(guān)系，衛(wèi)星再次相距最近，則衛(wèi)星轉(zhuǎn)動的角度差為2π，由此分析計算即可．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$可得衛(wèi)星周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}$，由此可知衛(wèi)星軌道半徑越大衛(wèi)星周期越大，而衛(wèi)星a為同步衛(wèi)星，故衛(wèi)星b的周期大于同步衛(wèi)星的周期即24h，故A錯誤；
B、衛(wèi)星的機(jī)械能等于其動能與勢能之和，因不知道衛(wèi)星的質(zhì)量，故不能確定衛(wèi)星的機(jī)械能大小關(guān)系，故B錯誤；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}$，可得b衛(wèi)星的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，可知半徑越大角速度越小，衛(wèi)星由相距最近至再次相距最近時，圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過的角度差為2π，所以可得經(jīng)歷的時間$t=\frac{2π}{ω-\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}}$，故C正確；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，可得衛(wèi)星的動能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{GmM}{r}$，動能的大小與衛(wèi)星的質(zhì)量也有關(guān)，而未知衛(wèi)星質(zhì)量的大小，故不能確定衛(wèi)星動能的大小，故D錯誤．
故選：C．

點(diǎn)評 在衛(wèi)星問題的處理中主要抓住衛(wèi)星圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，能根據(jù)衛(wèi)星軌道半徑的大小確定描述衛(wèi)星圓周運(yùn)動物理量的大小是解決本題的關(guān)鍵．