Question

【題目】如圖所示的xOy平面內(nèi)，以O1（0，R）為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（用B1表示，大小未知）；x軸下方有一直線MN，MN與x軸相距為y（未知），x軸與直線MN間區(qū)域有平行于y軸勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在MN的下方有矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向外，電子a、b以平行于x軸的速度v0分別正對(duì)O1點(diǎn)、A（0，2R）點(diǎn)射入圓形磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O進(jìn)入x軸下方的電場(chǎng)。己知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，，，不計(jì)電子重力。

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大��；

（2）若電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向，欲使電子不能到達(dá)MN，求y的最小值；

（3）若電場(chǎng)沿y軸正方向，y＝R，欲使電子b能到達(dá)x軸上且距原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)，求矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

Answer 1

【答案】（1）（2）R （3）最小面積為S＝4（2＋）R2

【解析】（1）電子射入圓形區(qū)域后做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑大小相等，設(shè)為r，當(dāng)電子射入，經(jīng)過(guò)O點(diǎn)進(jìn)入x軸下方，則：r＝R

，解得：

（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向，電子a從O點(diǎn)沿y軸負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)做減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理

eEy＝mv02

可求出

（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)沿y軸正方向，電子b從O點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子b經(jīng)電場(chǎng)加速后到達(dá)MN時(shí)速度大小為v，電子b在MN下方磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r1，電子b離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向成角，如圖所示。

由動(dòng)能定理

解得v＝2v0

在電場(chǎng)中

x＝v0t1＝2R

由牛頓第二定律代入得

則

由幾何關(guān)系可知，在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心O2在y軸上，當(dāng)粒子從矩形磁場(chǎng)右邊界射出，且射出方向與水平向右夾角為時(shí)，粒子能夠到達(dá)x軸，距離原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)。由幾何關(guān)系得，最小矩形磁場(chǎng)的水平邊長(zhǎng)為

l1＝（r1＋r1sin）

豎直邊長(zhǎng)為，l2＝（r1＋r1cos）

最小面積為S＝l1l2＝r12（1＋sin）（1＋cos）＝4（2＋）R2