Question

坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸下方各個(gè)方向發(fā)射速度大小都是v₀的α粒子．α粒子的質(zhì)量為m、電量為q；在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y≥d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

4mv0

qd

，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場(chǎng)內(nèi)平行于x
軸放置，如圖所示．測(cè)得進(jìn)入磁場(chǎng)的α粒子的速率均為2v₀，觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰好無粒子打到ab板上．（α粒子的重力忽略不計(jì)）
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）求感光板到x軸的距離；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為多大時(shí)所有粒子均能打到板上？并求出此時(shí)ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出感光板到x軸的距離．
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小得出磁場(chǎng)的寬度，從而確定出ab板移動(dòng)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：Eqd=

1

2

mv_t²-

1

2

mv₀²
由于v_t=2v₀，可得：場(chǎng)強(qiáng)大小為E=

3mv02

2qd

；
（2）對(duì)于沿x軸負(fù)方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸負(fù)方向夾角θ=

π

3

易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，

設(shè)半徑為r，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qv_tB=m

vt2

r

得：r=

1

2

d
則y=1.5r+d=

7d

4

；
（3）易知沿x軸正方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上，其臨界情況就是此粒子恰好與ab板相切，

設(shè)半徑為r′，
由幾何知識(shí)：r′（1-cosθ）=

3d

4

=1.5r
qv_tB′=m

vt2

r

磁感應(yīng)強(qiáng)度為原來的

1

3

，解得：B′=

4mv0

3qd

恰好所有粒子均能打到板上，
其在電場(chǎng)中沿x軸方向的位移x₁=v₀t=v₀

2d ( Eq m )

=

2 3 d

3

ab板上被打中區(qū)域的長度L=2x₁+r′=

4 3 d

3

+

3d

2

答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小

3mv02

2qd

；
（2）感光板到x軸的距離

7d

4

；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為

4mv0

3qd

時(shí)所有粒子均能打到板上，此時(shí)ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度

4 3 d

3

+

3d

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．