Question

如圖15所示，固定在上、下兩層水平面上的平行金屬導(dǎo)軌MN、M'N'和OP、O'P'間距都是l，二者之間固定有兩組豎直半圓形軌道PQM和P'Q'M'，兩軌道間距也均為l，且PQM和P'Q'M'的豎直高度均為4R，兩組半圓形軌道的半徑均為R．軌道的QQ'端、MM'端的對(duì)接狹縫寬度可忽略不計(jì)，圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架，能使導(dǎo)軌系統(tǒng)位置固定．將一質(zhì)量為m的金屬桿沿垂直導(dǎo)軌方向放在下層導(dǎo)軌的最左端OO'位置，金屬桿在與水平成θ角斜向上的恒力作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好．當(dāng)金屬桿通過4R的距離運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌末端PP'位置時(shí)其速度大小．金屬桿和導(dǎo)軌的電阻、金屬桿在半圓軌道和上層水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中所受的摩擦阻力，以及整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力均可忽略不計(jì)．
（1）已知金屬桿與下層導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求金屬桿所受恒力F的大�。�
（2）金屬桿運(yùn)動(dòng)到PP'位置時(shí)撤去恒力F，金屬桿將無碰撞地水平進(jìn)入第一組半圓軌道PQ和P'Q'，又在對(duì)接狹縫Q和Q'處無碰撞地水平進(jìn)入第二組半圓形軌道QM和Q'M'的內(nèi)側(cè)，求金屬桿運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的最高位置MM'時(shí)，它對(duì)軌道作用力的大��；
（3）若上層水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其右端連接的定值電阻阻值為r，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．金屬桿由第二組半圓軌道的最高位置MM'處，無碰撞地水平進(jìn)入上層導(dǎo)軌后，能沿上層導(dǎo)軌滑行．求金屬桿在上層導(dǎo)軌上滑行的最大距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線加速過程，受到拉力、重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力，對(duì)直線加速過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解；
（2）導(dǎo)體棒沿著圓弧型光滑軌道上滑過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解出最高點(diǎn)速度，然后根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式求解出導(dǎo)體棒所受壓力，最后根據(jù)牛頓第三定律求解棒對(duì)軌道的壓力；
（3）對(duì)減速過程運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、動(dòng)量定理列式后聯(lián)立求解．
解答：解：（1）導(dǎo)體棒加速過程中，重力和支持力不做功，只有拉力和摩擦力做功，拉力做功為W₁=F?4R?cosθ，摩擦力為F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ），
故摩擦力做功為W₂=-μ（mg-Fsinθ）?4R；
根據(jù)動(dòng)能定理W=△E_k，有

解得
F=
故金屬桿所受恒力F的大小為．
（2）設(shè)金屬桿從PP′位置運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)位置MM′時(shí)的速度為v₁，此過程根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

解得

設(shè)金屬桿MM′位置所受軌道壓力為F_M，根據(jù)牛頓第二定律，有

解得
F_M=7mg
由牛頓第三定律可知，金屬桿對(duì)軌道壓力的大小F′_M=7mg
故金屬桿運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的最高位置MM'時(shí)，它對(duì)軌道作用力的大小為7mg．
（3）金屬桿在上層導(dǎo)軌上滑行時(shí)由于安培力作用而最終靜止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為△t，根據(jù)動(dòng)量定理
BIL?△t=mv₁
即
Blq=mv₁
則

根據(jù)閉合電路歐姆定律，有

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有

而

由此可得

故金屬桿在上層導(dǎo)軌上滑行的最大距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中的能量變化情況，然后多次運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理列式求解．