天文工作者觀測到某行星的半徑為r0,自轉(zhuǎn)周期為T0,它有一顆衛(wèi)星,軌道半徑為r,繞行星公轉(zhuǎn)周期為T.
求:
(1)該行星表面的重力加速度g為多大?
(2)要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星,使其軌道在赤道上方,則該同步衛(wèi)星離地表的高度h為多大?
分析:(1)衛(wèi)星繞行星做圓周運動的向心力由行星的萬有引力提供,行星表面的物體受到的重力等于行星對它的萬有引力,據(jù)此列方程可以求出行星表面的重力加速度.
(2)同步衛(wèi)星的周期等于行星自轉(zhuǎn)周期,它做圓周運動的向心力由行星對它的萬有引力提供,由牛頓第二定律列方程,可以求出同步衛(wèi)星到地表的高度.
解答:解:(1)設行星質(zhì)量是M,衛(wèi)星質(zhì)量是m,
對衛(wèi)星環(huán),由牛頓第二定律得:
GMm
r2
=m(
T
)2r
  ①,
設行星表面上一物體質(zhì)量為m′,
則對該物體有:
GMm′
r02
=m′g
  ②,
聯(lián)立①②得,g=
4π2r3
T2r02
  ③;
(2)設同步衛(wèi)星距地面的高度是h,
對同步衛(wèi)星,由牛頓第二定律可得:
GMm″
(r0+h)2
=m″(
T0
)2(r0+h)
 ④,
聯(lián)立①④(或②③④)解得:h=r(
T0
T
)
2
3
-r0
,h=r?
3
T
2
0
T2
-r0

答:(1)該行星表面的重力加速度g=
4π2r3
T2
r
2
0

(2)該同步衛(wèi)星離地表的高度h為h=r(
T0
T
)
2
3
-r0
(或 h=r?
3
T
2
0
T2
-r0
).
點評:本題考查了求重力加速度及衛(wèi)星高度問題,知道萬有引力提供向心力、熟練應用萬有引力公式、牛頓第二定律即可正確解題.
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(1)該行星的平均密度;
(2)要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的近地人造衛(wèi)星,使其軌道平面與行星的赤道平面重合,且設行星上無氣體阻力,則對衛(wèi)星至少應做多少功?

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(1)該行星的平均密度;
(2)該行星的地表重力加速度;
(3)該行星同步衛(wèi)星的運行軌道半徑.

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(1)該行星的平均密度;

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