Question

給出定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h(x)=x-a

x

，已知g（x）在x=1處取極值．
（1）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e²時，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)，知g（x）=x²-alnx，則g′(x)=2x-

a

x

．由g'（1）=0，知a=2于是h(x)=x-2

x

，由此能確定h（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)1＜x＜e²時，0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0，欲證x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f(x)＞

2(x-1)

x+1

．由此能夠證明當(dāng)1＜x＜e²時，x＜

2+f(x)

2-f(x)

．

解答：解：（1）由題設(shè)，g（x）=x²-alnx，則g′(x)=2x-

a

x

．…（2分）
由已知，g'（1）=0，即2-a=0⇒a=2．…（3分）
于是h(x)=x-2

x

，則h′(x)=1-

1

x

．由h′(x)=1-

1

x

＞0⇒x＞1，…（5分）
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．…（6分）
（2）當(dāng)1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0…（8分）
欲證x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f(x)＞

2(x-1)

x+1

．
設(shè)φ(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

，
則φ′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
當(dāng)1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，所以φ（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)．
從而當(dāng)1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

，故x＜

2+f(x)

2-f(x)

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的確定和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的等價轉(zhuǎn)化等基本知識．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．