Question

給出定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x²-mf（x），，已知g（x）在x=1處取極值．
（1）求m的值及函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x∈（1，e²）時，恒有＞x成立．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)g（x）=x²-mlnx，則，
由已知g′（1）=0，即2-m=0，則m=2，
于是，則，
當(dāng)＞0時，x＞1，
當(dāng)＜0時，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（1，e²）時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲證，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），
即證f（x）．
設(shè)F（x）=f（x）-=lnx-，
則=，
當(dāng)1＜x＜e²時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)，
從而當(dāng)x∈（1，e²）時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞，
故．
分析：（1）由題設(shè)g（x）=x²-mlnx，則，由已知g′（1）=0，得m=2，于是，由此能求出m的值及函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈（1，e²）時，0＜lnx＜2，欲證，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f（x）．由此能夠證明當(dāng)x∈（1，g²）時，恒有＞x成立．
點評：本題考查求m的值及求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間和不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．