Question

長為6L質(zhì)量為6m的勻質(zhì)繩，置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌邊外，另一端系有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為M的木塊，如圖所示．木塊在AB段與桌面無摩擦，在BE段與桌面有摩擦，勻質(zhì)繩與桌面的摩擦可忽略．初始時(shí)刻用手按住木塊使其停在A處，繩處于繃緊狀態(tài)，AB=BC=CD=DE=L，放手后，木塊最終停在C處．桌面距地面高度大于6L．
（1）求木塊剛滑至B點(diǎn)時(shí)的速度v，木塊與桌面的BE段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若木塊在BE段與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)?span id="uuww4eu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">μ′=

21m

4M

，則木塊最終停在何處？
（3）是否存在一個(gè)μ值，能使木塊從A處放手后，最終停在E處，且不再運(yùn)動(dòng)？若能，求出該μ值；若不能，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）木塊由A到B點(diǎn)過程中，只有重力做功，所以過程中機(jī)械能守恒；再取從A點(diǎn)到C點(diǎn)過程，由功能關(guān)系可求得動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）假設(shè)木塊運(yùn)動(dòng)一段后停止的位移，則由功能關(guān)系，結(jié)合題意可得運(yùn)動(dòng)的位移，從而確定木塊停在何處；
（3）假設(shè)木塊運(yùn)動(dòng)滑至E點(diǎn)，繩全部懸于桌邊外，根據(jù)受力分析與運(yùn)動(dòng)分析，可得結(jié)果與假設(shè)茅盾．從而確定假設(shè)的不正確．

解答：解：（1）木塊從A處釋放后滑至B點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒得
 3mg×

3

2

L-2mgL=

1

2

(6m+M)v2   ①
則木塊滑至B點(diǎn)時(shí)的速度  v=

5mgL M+6m

              ②
木塊從A處滑至C點(diǎn)的過程中，由功能關(guān)系得
     4mg×2L-2mgL=μMgL       ③
由③式得           μ=

6m

M

                         ④
（2）若μ′=

21m

4M

＜μ，設(shè)木塊能從B點(diǎn)向右滑動(dòng)x最終停止，由功能關(guān)系得
(

3L+x

L

)mg

3L+x

2

-2mgL=μ′Mgx    ⑤
將μ′=

21m

4M

代入⑤式并整理得 2x²-9Lx+10L²=0
解得x=2L （x=2.5L不合題意舍去）
即木塊將從B點(diǎn)再滑動(dòng)2L最終停在D處．
（3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木塊從A處放手后最終停在E處且不再運(yùn)動(dòng)．
這是由于當(dāng)μ=

6m

M

時(shí)，若木塊滑至E點(diǎn)，恰好有f=μMg=6mg，此時(shí)繩全部懸于桌邊外，對木塊的拉力恰好也為6mg，而從（2）的結(jié)果知，更使木塊繼續(xù)向E點(diǎn)滑行，必須再減小μ值，因而木塊尚未滑至E點(diǎn)時(shí)，木塊所受滑動(dòng)摩擦力已與懸繩拉力相等，此時(shí)，再向E點(diǎn)滑行時(shí)，懸繩對木塊拉力將大于木塊受到的滑動(dòng)摩擦力而使合力向右，木塊又重新獲得加速度．因此不可能保持靜止?fàn)顟B(tài)．
答：（1）求木塊剛滑至B點(diǎn)時(shí)的速度  v=

5mgL M+6m

；木塊與桌面的BE段的動(dòng)摩擦因數(shù) μ=

6m

M

；
（2）若木塊在BE段與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)?span id="4csa6ek" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">μ′=

21m

4M

，則木塊最終停在木塊將從B點(diǎn)再滑動(dòng)2L最終停在D處；
（3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木塊從A處放手后最終停在E處且不再運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評：讓學(xué)生掌握機(jī)械能守恒定律及其成立條件，并理解功能關(guān)系．同時(shí)還運(yùn)用假設(shè)法去分析與解決問題．