Question

如圖所示的坐標系xoy中，M、P為與x軸垂直放置的足夠大平板，其中M板位于x=0處．P為感光板位于x=2d處，N為位于x=d處的與P板平行的界面．位于坐標原點處的粒子源，可以向xov平面內y軸右側的各個方向發(fā)射質量為m，電荷量為q、速率均相同的帶正電粒子，在d≤x≤2d的區(qū)域內存在垂直坐標平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場．粒子源沿x軸方向射出的粒子恰好打不到P上，不計粒子重力
（1）求從粒子源射出的粒子速率v₀．
（2）若在M、N之間加上水平向有的勻強電場，場強大小E=

3qdB2

2m

，則感光板p上被粒子打中區(qū)域的長度多大？

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場后由洛倫茲力充當向心力做勻速圓周運動．對于沿x軸方向射出的粒子進入磁場時，恰好不能打到ab板上，此時粒子運動軌跡與ab板相切，由幾何知識確定半徑，然后由牛頓第二定律求出軌跡半徑．
（2）粒子在電場中運動時，電場力做功都相同，為qEd，根據動能定理求出粒子離開電場時的速度大小，即得到粒子進入磁場時速度的大��；
沿y軸正方向和負方向射出的粒子在電場中均做類平拋運動，由平拋運動規(guī)律求出粒子經過電場后的速度偏轉角以及豎直方向的位移；由牛頓第二定律求出在磁場中運動的半徑，然后由幾何關系求出粒子打到板上形成亮線的長度．

解答：解：（1）設從粒子源射出時粒子的速率為v₀，沿x軸方向射出的粒子在磁場中運動，恰好打不到P上，由幾何關系知，
運動的半徑R₀=d
根據牛頓第二定律得：qv₀B=m

v02

R

解得：v₀=

qBd

m

（2）U_MN=Ed=

3qB2d2

2m

，設粒子到達N面時速率為v，
根據動能定理得：qU_MN=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
即每個粒子通過N面后的速度均為v=2v₀
分別沿+y和-y方向射出的粒子經過N上的C、D處時，速度方向改變的角度θ滿足：
cosθ=

v0

v

得：θ=

π

3

C、D之間的距離為：
2△y=2v₀t
而d=

1

2

qE

m

t²
整理得：2△y=

4

3

d
設粒子在磁場中做圓周運動的半徑R，
qvB=m

v2

R

得：R=2d
經過C、D處的粒子在磁場中的運動軌跡示意如圖
又幾何關系知△y_c=

3

d
△y_D=2d-

3

d
粒子打在P上區(qū)域的長度為：L=2△y+△y_c+△y_D=（

4 3

3

+2）d
答：（1）求從粒子源射出的粒子速率v₀為

qBd

m

；
（2）若在M、N之間加上水平向有的勻強電場，場強大小E=

3qdB2

2m

，則感光板p上被粒子打中區(qū)域的長度為（

4 3

3

+2）d．

點評：本題是電場中偏轉和磁場中圓周運動的綜合，關鍵是分析臨界情況，當粒子恰好打不到P上時，其軌跡恰好與ab板相切，這是經常用到的臨界條件，再由平拋運動規(guī)律及圓周運動規(guī)律求出亮線的長度．