Question

（2007?徐州三模）如圖，在空間中有一坐標系xOy，其第一象限內(nèi)充滿著兩個勻強磁場區(qū)域I和II，直線OP是它們的邊界，區(qū)域I中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域II中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)，邊界上的P點坐標為（4L，3L）．一質(zhì)量為m電荷量為q的帶正粒子從P點平行于y軸負方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過一段時間后，粒子恰好經(jīng)過原點O，忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）粒子從P點運動到O點的時間為多少？
（2）粒子的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場中受到洛倫茲力而做勻速圓周運動，由題：粒子從P進入磁場Ⅰ后恰好經(jīng)過原點O，必定返回磁場，才能經(jīng)過原點O，畫出軌跡．所以粒子先在磁場I區(qū)中做順時針的圓周運動，后在磁場II區(qū)中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短．根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動知識求出軌跡半徑和周期．根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)的角度，即可由t=

θ

2π

求出時間；
（2）粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場I區(qū)中運動，后在磁場II區(qū)中運動，然后又重復前面的運動，直到經(jīng)過原點O．這樣粒子經(jīng)過n個周期性的運動到過O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內(nèi)的位移S=

OP

n

（n=1，2，3，…）．根據(jù)S與兩個半徑的關(guān)系，求出半徑，即可求解速度．

解答：解：（1）設(shè)粒子的入射速度為v，用R₁，R₂，T₁，T₂分別表示粒子在磁場I區(qū)和II區(qū)中運動的軌道半徑和周期．則
  qvB=m

v2

R1

  qv2B=m

v2

R2

 周期分別為 T1=

2πR1

v

=

2πm

qB

，T2=

2πR2

v

=

πm

qB

粒子先在磁場I區(qū)中做順時針的圓周運動，后在磁場II區(qū)中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短．
粒子運動軌跡如圖所示．tanα=

3L

4L

=0.75
得α=37°，α+β=90°
粒子在磁場I區(qū)和II區(qū)中的運動時間分別為t1=

2β

360°

?T1，t2=

2β

360°

?T2
粒子從P點運動到O點的時間至少為t=n（t₁+t₂ ） （n=1，2，3，…）
由以上各式解得t=n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場I區(qū)中運動，后在磁場II區(qū)中運動，然后又重復前面的運動，直到經(jīng)過原點O．這樣粒子經(jīng)過n個周期性的運動到過O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內(nèi)的位移為S=

OP

n

=

(4L)2+(3L)2

n

=

5L

n

（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁場I區(qū)中運動的位移為S1=

R1

R1+R2

S=

2

3

S
由圖中幾何關(guān)系可知

S1 2

R1

=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小為v=

25qBL

12nm

（n=1、2，3，…）  
答：
（1）粒子從P點運動到O點的時間為n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小是

25qBL

12nm

，（n=1、2，3，…）

點評：本題在復合場中做周期性運動的類型，關(guān)鍵要運用數(shù)學知識分析粒子的規(guī)律，得到粒子在一個周期內(nèi)位移的通項，綜合性較強，難度很大．