Question

如圖所示，x軸上方是磁感強度為B的勻強磁場，下方是場強為E的勻強電場，方向如圖，屏MN距y軸為S．今有一個質(zhì)量為m 電荷量為q的正離子（不計重力）從坐標原點O沿y軸正方向射入磁場，若要粒子垂直打在MN上，則
（1）粒子從原點射入時的速度是多少？
（2）粒子從射入磁場到打在MN上需要多少時間？

Answer 1

分析：（1）設正離子在磁場中運動的半徑為R，要使粒子垂直打在屏MN上，根據(jù)幾何關系得到s=2nR+R（n=0，1，2，…），得到半徑R的表達式，由牛頓第二定律求解離子的速度．
（2）根據(jù)離子運動的時間與周期的關系，求出離子在磁場中運動時間．離子在電場中做往復勻變速直線運動，由牛頓第二定律和速度公式結合求出時間，即可得到總時間．

解答： 解：（1）設正離子在磁場中運動的半徑為R，要使粒子垂直打在屏MN上，則有s=2nR+R（n=0，1，2，…），得R=

s

2n+1

，
可能（n=0，1時）的軌跡如圖中虛線所示．
又Bqv=m

v2

R

，所以v=

BqR

m

=

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子在磁場中運動時間t₁=

n

2

T+

1

4

T
又T=

2πm

qB

，所以t₁=

πnm

qB

+

πm

qB

（n=0，1，2，…）
粒子在電場中運動的時間為t₂，
由t₂=2n

v

a

，Eq=ma，得
t₂=

2nBs

E(2n+1)

（n=0，1，2，…）
所以粒子運動的總時間為
t=t₁+t₂=

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．
答：
（1）粒子從原點射入時的速度是

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子從射入磁場到打在MN上需要時間為

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．

點評：本題是物理上的數(shù)列問題，通過歸納法得到半徑的通項是關鍵，考查運用數(shù)學知識解決物理問題的能力．