Question

【題目】簡諧運(yùn)動是一種常見且重要的運(yùn)動形式。它是質(zhì)量為m的物體在受到形如F=-kx的回復(fù)力作用下，物體的位移x與時間t遵循變化規(guī)律的運(yùn)動，其中角頻率（k為常數(shù)，A為振幅，T為周期）。彈簧振子的運(yùn)動就是其典型代表。如圖所示，一豎直光滑的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，彈簧下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m的小球A相連，小球A靜止時所在位置為O。另一質(zhì)量也為m的小球B從距A為H的P點(diǎn)由靜止開始下落，與A發(fā)生瞬間碰撞后一起開始向下做簡諧運(yùn)動。兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，彈簧的形變在彈性限度內(nèi)，當(dāng)其形變量為x時，彈性勢能為。已知，重力加速度為g。求：

（1）B與A碰撞后瞬間一起向下運(yùn)動的速度；

（2）小球A被碰后向下運(yùn)動離O點(diǎn)的最大距離；

（3）小球A從O點(diǎn)開始向下運(yùn)動到第一次返回O點(diǎn)所用的時間。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）B自由下落H的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒有

解得

B與A碰撞過程動量守恒，則有

解得

（2）A在O位置，彈簧被壓縮，根據(jù)平衡條件得

A與B共同體繼續(xù)向下運(yùn)動離O點(diǎn)的最大距離為

根據(jù)能守恒定律

根據(jù)平衡條件有

整理得

得，（舍去）

即

（3）由題意

又振幅

振動圖像如圖

由余弦函數(shù)知

所求時間

得