Question

【題目】設(shè)有一湖水足夠深的咸水湖，湖面寬闊而平靜．初始時(shí)將一體積很小的勻質(zhì)正立方體物塊在湖面上由靜止開(kāi)始釋放，釋放時(shí)物塊的下底面和湖水表面恰好相接觸．已知湖水密度為；物塊邊長(zhǎng)為b，密度為，且．在只考慮物塊受重力和液體浮力作用的情況下，求物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于湖面足夠?qū)掗煻�物塊體積很小，湖面的絕對(duì)高度在物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變，因此，可選湖面為坐標(biāo)原點(diǎn)并以豎直向下方向?yàn)檎�方向建立坐�?biāo)系，以下簡(jiǎn)稱x系．設(shè)物塊下底面的坐標(biāo)為x，在物塊未完全浸沒(méi)入湖水時(shí)，其所受到的浮力為

， ①

式中g為重力加速度。

物塊的重力為． ②

設(shè)物塊的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有

③

將①和②式代入③式得． ④

將x系坐標(biāo)原點(diǎn)向下移動(dòng)而建立新坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱X系．新舊坐標(biāo)的關(guān)系為

． ⑤

把⑤式代入④式得． ⑥

⑥式表示物塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．若X=0，則a=0，對(duì)應(yīng)于物塊的平衡位置．由⑤式可知，當(dāng)物塊處于平衡位置時(shí)，物塊下底面在x系中的坐標(biāo)為

⑦

物塊運(yùn)動(dòng)方程在X系中可寫為

⑧

利用參考圓可將其振動(dòng)速度表示為

， ⑨

式中為振動(dòng)的圓頻率， ⑩

在⑧和⑨式中A和分別是振幅和初相位，由初始條件決定．在物塊剛被釋放時(shí)，即t=0時(shí)刻有x=0，由⑤式得

，

．

由⑧至式可求得

．

將⑩和式分別代入⑧和⑨式得

，

由式可知，物塊再次返回到初始位置時(shí)恰好完成一個(gè)振動(dòng)周期．但物塊的運(yùn)動(dòng)始終由表示是有條件的，那就是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊始終沒(méi)有完全浸沒(méi)在湖水中．若物塊從某時(shí)刻起全部浸沒(méi)在湖水中，則湖水作用于物塊的浮力變成恒力，物塊此后的運(yùn)動(dòng)將不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物塊再次返回到初始位置所需的時(shí)間也就不再全由振動(dòng)的周期決定。為此，必須研究物塊可能完全浸沒(méi)在湖水中的情況。顯然，在x系中看，物下底面坐標(biāo)為b時(shí)，物塊剛好被完全浸沒(méi)．由⑤式知在X系中這一臨界坐標(biāo)值為

即物塊剛好完全浸沒(méi)在湖水中時(shí)，其下底面在平衡位置以下處．注意到在振動(dòng)過(guò)程中，物塊下底面離平衡位置的最大距離等于振動(dòng)的振幅A．下面分兩種情況討論，

Ⅰ．，由和兩式得．

在這種情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中至多剛好全部浸沒(méi)在湖水中．因而，物塊從初始位置起，經(jīng)一個(gè)振動(dòng)周期，再次返回至初始位置．由⑩式得振動(dòng)周期為

物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間為

Ⅱ．，由和兩式得．

在這種情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)從某時(shí)刻起全部浸沒(méi)在湖水表面之下．設(shè)從初始位置起，經(jīng)過(guò)時(shí)間物塊剛好全部浸入湖水中，這時(shí)．由和式得

取合理值，有

由上式和式可求得這時(shí)物塊的速度為

此后，物塊在液體內(nèi)作勻減速運(yùn)動(dòng)，以表示加速度的大小，由牛頓定律有

設(shè)物塊從剛好完全浸入湖水到速度為零時(shí)所用的時(shí)間為

由

得

物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間為