Question

已知地球的自轉(zhuǎn)周期和半徑分別為T和R，地球同步衛(wèi)星A的圓軌道半徑為h。衛(wèi)星B沿半徑為r（r＜h）的圓軌道在地球赤道的正上方運行，其運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。求：
（1）衛(wèi)星B做圓周運動的周期；
（2）衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔（信號傳輸時間可忽略）。

Answer 1

（1）；（2）（arcsin＋arcsin）T

解析試題分析：（1）設(shè)衛(wèi)星B繞地心轉(zhuǎn)動的周期為T′，地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星A、B的質(zhì)量分別為m、m′，根據(jù)萬有引力定律和圓周運動的規(guī)律有：
＝mh       ①
＝m′r           ②
聯(lián)立①②兩式解得：T′＝               ③
（2）設(shè)衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔t，在時間間隔t內(nèi)，衛(wèi)星A和B繞地心轉(zhuǎn)過的角度分別為α和β，則：α＝×2π，β＝×2π                                                           ④
若不考慮衛(wèi)星A的公轉(zhuǎn)，兩衛(wèi)星不能直接通訊時，衛(wèi)星B的位置應(yīng)在下圖中B點和B′點之間，圖中內(nèi)圓表示地球的赤道。

由圖中幾何關(guān)系得：∠BOB′＝2（arcsin＋arcsin）         ⑤
由③式知，當r＜h時，衛(wèi)星B比衛(wèi)星A轉(zhuǎn)得快，考慮衛(wèi)星A的公轉(zhuǎn)后應(yīng)有：β－α＝∠BOB′       ⑥
由③④⑤⑥式聯(lián)立解得：t＝（arcsin＋arcsin）T
考點：本題主要考查了萬有引力定律的應(yīng)用和空間想象能力問題，屬于中檔偏高題。