Question

【題目】如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。在正方形對(duì)角線(xiàn)上有一點(diǎn)，到距離均為，在點(diǎn)有一個(gè)能連續(xù)發(fā)射正離子的裝置，且所有正離子的質(zhì)量均為、電荷量均為。不計(jì)離子重力及離子間相互作用力。

（1）若由點(diǎn)水平向右射出一正離子，恰好從點(diǎn)射出，求該離子的速度大小及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）若由點(diǎn)連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)各方向發(fā)射速率均為的正離子，求在邊有離子射出的區(qū)域長(zhǎng)度。

Answer 1

【答案】（1） ， （2）

【解析】

根據(jù)題圖可知，考查了帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出幾何關(guān)系進(jìn)行求解；

（1）畫(huà)出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心和半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力進(jìn)行求解；

（2）發(fā)射速率不變，即圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)半徑不變，分析找出臨界狀態(tài)的粒子即可確定射出的區(qū)域長(zhǎng)度。

（1）離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖：

由圖知：

洛倫茲力提供向心力：

解得：，

運(yùn)動(dòng)周期：

離子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，

則由

可得：

要使離子從射出，則其必不能從射出，其臨界狀態(tài)是離子軌跡與邊相切，設(shè)切

點(diǎn)與點(diǎn)距離為，其軌跡如圖甲所示，

由幾何關(guān)系得：

計(jì)算可得，

設(shè)此時(shí)邊射出點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，則由幾何關(guān)系有：，

解得

（說(shuō)明：若直接由軌跡圖形的對(duì)稱(chēng)性得也可。）

而當(dāng)離子軌跡與邊相切時(shí)，離子必將從邊射出，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)與點(diǎn)距離為，其軌跡如圖乙所示，由幾何關(guān)系可得，

解得，

故離子在邊射出的區(qū)域長(zhǎng)度