Question

【題目】2019年1月3日，我國“嫦娥四號”探測器在月球背面成功著陸并發(fā)回大量月背影像。如圖所示為位于月球背面的“嫦娥四號”探測器A通過“鵲橋”中繼站B向地球傳輸電磁波信息的示意圖。拉格朗日L2點(diǎn)位于地月連線延長線上，“鵲橋”的運(yùn)動可看成如下兩種運(yùn)動的合運(yùn)動：一是在地球和月球引力共同作用下，“鵲橋”在L2點(diǎn)附近與月球以相同的周期T0一起繞地球做勻速圓周運(yùn)動；二是在與地月連線垂直的平面內(nèi)繞L2點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。已知地球的質(zhì)量為月球質(zhì)量的n倍，地球到L2點(diǎn)的距離為月球到L2點(diǎn)的距離的k倍，地球半徑、月球半徑以及“鵲橋”繞L2點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的半徑均遠(yuǎn)小于月球到L2點(diǎn)的距離（提示：“鵲橋”繞L2點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的向心力由地球和月球?qū)ζ湟�力在過L2點(diǎn)與地月連線垂直的平面內(nèi)的分量提供）。

（1）若月球到L2點(diǎn)的距離r=6.5×107m，k=7，“鵲橋”接收到“嫦娥四號”傳來的信息后需經(jīng)t0=60.0s處理才能發(fā)出，試估算“嫦娥四號”從發(fā)出信息到傳回地球的最短時間（保留三位有效數(shù)字）；

（2）試推導(dǎo)“鵲橋”繞L2點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的周期T的（近似）表達(dá)式。若k=7，n=81，T0=27.3天，求出T的天數(shù)（取整數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（天）

【解析】

信息是通過電磁波進(jìn)行傳播的，電磁波的傳播速度是光速，利用平均速度公式即可求得時間；“鵲橋”B的運(yùn)動分為兩種：繞點(diǎn)的自轉(zhuǎn)和繞地球的公轉(zhuǎn)，且都是在做勻速圓周運(yùn)動，找到做圓周運(yùn)動的向心力由誰來提供，列出方程即可解答

（1）由電磁波的傳播速度，信息先從A傳到B的時間為，在B處理的時間為，再從B傳到地球的時間為，即“嫦娥四號”從發(fā)出信息到傳回地球的最短時間：

（2）設(shè)地球、月球和“鵲橋”B的質(zhì)量分別為、、；由題意可知，B繞地球運(yùn)動時可看著質(zhì)點(diǎn)，B以周期繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力為，有：

①

又由B繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力由地球、月球?qū)λ�的萬用引力提供得：

②

另設(shè)B在繞點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，且做圓周運(yùn)動的向心力由地球、月球?qū)λ�的萬有引力的一個分力提供,有：

③

再由公式：

④

聯(lián)立①②③④解得得：

（天）