Question

【題目】如圖所示（a），在傾角為30°的斜面上固定一光滑金屬導(dǎo)軌CDEFG，OH∥CD∥FG，∠DEF＝60，CD＝DE＝EF＝FG＝AB/2＝L，一根質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒AB在電機的牽引下，以恒定的速度v0沿OH方向從斜面底部開始運動，滑上導(dǎo)軌并到達斜面頂端，AB⊥OH，金屬導(dǎo)軌的CD、FG段電阻不計，DEF段與AB棒材料、橫截面積均相同，單位長度電阻為r，O是AB棒的中點，整個斜面處在垂直斜面向上磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中。求：

（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑行時電路中的電流的大��；

（2）導(dǎo)體棒運動到DF位置時AB兩端的電壓；

（3）將導(dǎo)體棒從低端拉到頂端電機對外做的功；

（4）若AB到頂端后，控制電機的功率，使導(dǎo)體棒AB沿斜面向下從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小始終為a，一直滑到斜面底端，則此過程中電機提供的牽引力隨時間如何變化？（運動過程中AB棒的合力始終沿斜面向下）。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑行時，根據(jù)感應(yīng)電動勢公式得出電動勢與有效長度的關(guān)系，由題意得到電阻與有效長度的關(guān)系，根據(jù)歐姆定律得到導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌DEF上滑動時電路中電流的大��；AB兩端的電壓等于AD、DF、FB三段感應(yīng)電動勢之和。AD、FB兩段電壓等于感應(yīng)電動勢，DF段根據(jù)電壓分配求出；根據(jù)功能關(guān)系可知，導(dǎo)體棒從底端拉到斜面頂端過程電機對桿做的功等于導(dǎo)體棒增加的重力勢能與電路產(chǎn)生的熱量之和，AB棒在DEF上滑動時產(chǎn)生的電熱Q1，數(shù)值上等于克服安培力做的功；分三段討論牽引力隨時間的變化情況：CDEF導(dǎo)軌上、DEF導(dǎo)軌上和OE段．導(dǎo)體棒做勻加速運動，加速度為a．根據(jù)牛頓第二定律、運動學(xué)公式及各段感應(yīng)電流、安培力的表達式結(jié)合得到牽引力隨時間的變化情況。

（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上勻速滑行時，設(shè)AB棒等效切割長度為l，則
導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上E=BLv0
回路總電阻為R總=3Lr
則感應(yīng)電流為：

聯(lián)立解得：

AB棒滑到DF處時，AB兩端的電壓UBA=UDA+UFD+UBF
又有：UDA+UBF=BLv0

可得：

則有：

（3）導(dǎo)體棒從低端拉到頂端電機做的功：

增加的重力勢能

AB棒在DEF軌道上滑動時產(chǎn)生的熱量 ，此過程中，電流I不變，所以F安∝S，故

AB棒在CDEF導(dǎo)軌上滑動時產(chǎn)生的熱量，電流不變，電阻不變，所以

所以：

（4）分三段討論牽引力隨時間的變化情況

Ⅰ：CDEF導(dǎo)軌上運動牽引力為F1，根據(jù)牛頓第二定律：

其中： ， ，

聯(lián)立可得：

Ⅱ：DEF導(dǎo)軌上運動牽引力為F2，則

， ，

位移為：

所以

Ⅲ：OE段運動牽引力F3，不隨時間變化，則