Question

如圖所示，電阻均為R的金屬棒a、b，a棒的質(zhì)量為m，b棒的質(zhì)量為M，放在如圖所示光滑的軌道的水平部分，水平部分有如圖所示豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓弧部分無磁場(chǎng)，且軌道足夠長(zhǎng)；開始給a棒一水平向左的初速度v₀，金屬棒a、b與軌道始終接觸良好．且a棒與b棒始終不相碰．請(qǐng)問：
（1）當(dāng)a、b在水平部分穩(wěn)定后，速度分別為多少？損失的機(jī)械能多少？
（2）設(shè)b棒在水平部分穩(wěn)定后，沖上圓弧軌道，返回到水平軌道前，a棒已靜止在水平軌道上，且b棒與a棒不相碰，然后達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，最后a，b的末速度為多少？
（3）整個(gè)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

Answer 1

分析：（1）由于軌道是光滑的，金屬棒a、b運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒；
（2）由于b棒在沖上又返回過程中，機(jī)械能守恒，返回時(shí)速度大小不變，b棒與a棒向右運(yùn)動(dòng)過程中，直到穩(wěn)定，系統(tǒng)動(dòng)量守恒；
（3）全過程中沒有摩擦力的作用，由能量守恒可知，整個(gè)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少量．

解答：解：（1）對(duì)a、b棒在水平軌道分析，系統(tǒng)動(dòng)量守恒；
設(shè)v₁是穩(wěn)定時(shí)a、b棒共同速度，
mv₀=（m+M）v₁　　　　          
v₁=

mv0

m+M

　　　　         
損失的機(jī)械能為△E
△E=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₁²=

M mv 2 0

2(m+M)

                      
（2）由于b棒在沖上又返回過程中，機(jī)械能守恒，返回時(shí)速度大小不變
   v₂=v₁                          
b棒與a棒向右運(yùn)動(dòng)過程中，直到穩(wěn)定，系統(tǒng)動(dòng)量守恒
Mv₂=（m+M）v₃　　　　　　　　　 
達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)a，b的末速度：
　v₃=

Mmv0

(M+m)2

　　　　　　　　
（3）整個(gè)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少量
Q=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₃²=

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）　　　　　
答：（1）當(dāng)a、b在水平部分穩(wěn)定后，速度

mv0

m+M

，損失的機(jī)械能是

M mv 2 0

2(m+M)

，
（2）最后a，b的末速度為

Mmv0

(M+m)2

，
（3）整個(gè)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能是

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題很好的考查了機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒定律，把力學(xué)和電磁場(chǎng)有機(jī)的結(jié)合了起來，考查了學(xué)生的分析能力，是個(gè)好題．