Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深坑打夯機(jī)”示意圖，固定底座放在地面上，夯桿從固定底座上、下兩個(gè)孔中穿過(guò)，這樣夯桿在底座的約束下只能上下運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)滾輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將夯桿從深坑中豎直提上來(lái)，當(dāng)夯桿底端剛到達(dá)坑口時(shí)，滾輪與夯桿分離，將桿釋放，夯桿在自身重力作用下落回深坑，夯實(shí)坑底；然后滾輪再次壓緊，夯桿提上來(lái)，如此周而復(fù)始。已知滾輪邊緣線速度恒為v=4 m/s，滾輪對(duì)夯桿的正壓力F_n=4×10⁴ N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)約為μ=0.3，夯桿質(zhì)量m=1×10³ kg，坑深h=6.4 m。假定在打夯過(guò)程中坑的深度不發(fā)生變化，在任何情形之下桿都不會(huì)脫離固定底座的約束，不計(jì)固定底座與夯桿之間的摩擦力，取g=10 m/s²。求：

(1)每個(gè)打夯周期中電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功。

(2)每個(gè)打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產(chǎn)生的熱量。

(3)打夯周期。

Answer 1

(1)W=7.2×10⁴ J (2)Q=4.8×10⁴ J

(3)T=4.2 s

解析：(1)桿在上升過(guò)程中，經(jīng)歷了三個(gè)運(yùn)動(dòng)階段：①加速上升階段，輪與桿之間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，桿受到滑動(dòng)摩擦力；②夯桿勻速上升階段，此過(guò)程中輪的邊緣線速度等于桿的運(yùn)動(dòng)速度，輪與桿之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，桿受到靜摩擦力，靜摩擦力與重力平衡；③輪與桿分離后，桿做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，桿只受重力，此時(shí)電動(dòng)機(jī)對(duì)它不做功。

加速上升階段加速度a=

上升高度h₁=

電動(dòng)機(jī)做的功W₁=μF_Nh₁

夯桿勻速上升階段，上升高度h₂=h-h₁

電動(dòng)機(jī)做的功W₂=mgh₂

故每個(gè)打夯周期中，電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功W=W₁+W₂=7.2×10⁴ J

(2)夯桿加速上升的時(shí)間t₁==2 s

相對(duì)位移是L=vt₁-h₁=4 m

因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μF_NL=4.8×10⁴ J

(3)夯桿勻速上升的時(shí)間是t₂==0.6 s

設(shè)夯桿做豎直上拋運(yùn)動(dòng)再落到坑底的時(shí)間是t₃，則：

-h=vt₃-

解得：t₃=1.6 s

即得打夯周期T=t₁+t₂+t₃=4.2 s