Question

我國(guó)北方常遭遇嚴(yán)重的沙塵暴天氣．所謂沙塵暴可簡(jiǎn)化為如下情景：快速向上刮起的大風(fēng)將大量沙塵顆粒揚(yáng)起后懸浮在空中，可視為這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力與沙塵的重力平衡．已知風(fēng)對(duì)沙塵粒作用力大小的可近似表達(dá)為 f=ρπr² v ²，式中ρ_空為空氣密度，r為沙塵粒的半徑（沙塵�？山�似看成球體，且體積V=πr³），v為風(fēng)速．如果沙塵粒的密度ρ_沙=3×10³kg/m³，沙塵粒的半徑r=2.5×10^-4m，地面的空氣密度ρ_空=1.25kg/m³，若空氣密度ρ_空 隨地面高度h的變化關(guān)系為每升高1km，空氣密度減少0.2kg/m³（g取10m/s²）．求：
（1）要形成沙塵暴現(xiàn)象，地面的風(fēng)速至少為多少？
（2）當(dāng)?shù)孛骘L(fēng)速為8m/s時(shí)，沙塵暴的最大高度為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）沙塵顆粒受豎直向上的風(fēng)力f與豎直向下的重力G作用處于平衡狀態(tài)，由二力平衡條件知，重力G和風(fēng)力F相等，列出等式，解方程求出風(fēng)的速度；
（2）由平衡條件求出風(fēng)速為8m/s時(shí)空氣的密度，再求出空氣密度隨高度變化的關(guān)系，最后由空氣的密度求出沙塵暴的高度．
解答：解：（1）沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙πr³g與空氣作用力為f=πρ_空r²v²作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙 πr³g=ρ_空πr²v²，
則v===4m/s；
（2）當(dāng)風(fēng)速v=8m/s時(shí)，由ρ_沙 πr³g=ρ_空′πr²v²，得：

其中ρ_空′=ρ_空-kh 

故h=-= km- km=4.7km
答：（1）要形成沙塵暴現(xiàn)象，地面的風(fēng)速至少為4m/s；
（2）當(dāng)?shù)孛骘L(fēng)速為8m/s時(shí)，沙塵暴的最大高度為4.7km．
點(diǎn)評(píng)：沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空氣中，是靜止的物體，受到平衡力的作用，根據(jù)平衡條件列出等式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．