Question

我國(guó)北方常遭遇嚴(yán)重的沙塵暴天氣，所謂沙塵暴可以簡(jiǎn)化為如下情景：快速向上刮起的大風(fēng)將大量沙塵顆粒揚(yáng)起后懸浮在空中，可視為這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力與沙塵的重力平衡．已知風(fēng)對(duì)沙塵粒的作用力大小的可近似表達(dá)為f=

1

2

πρ_空r²v²，式中ρ_空為空氣密度，r為沙塵粒的半徑（沙塵�？山�似看成球體，且球體的體積V=

4

3

πr³），v為風(fēng)速，如果沙塵粒的密度ρ_沙=3×10³㎏/m³，沙塵粒的半徑r=2.5×10^-4m，地面的空氣密度ρ_空=1.25㎏/m³，若空氣密度ρ_空隨地面高度h的變化關(guān)系為每升高1km空氣密度減少0.21㎏/m³，則要形成沙塵暴現(xiàn)象，地面的風(fēng)速至少為______m/s，當(dāng)?shù)孛娴娘L(fēng)速為10m/s時(shí)，沙塵暴的最大高度為______km．

Answer 1

沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙

4

3

πr³g與空氣作用力為f=

1

2

πρ_空r²v²作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空πr²v²，
則v=

8ρ沙rg 3ρ空

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×9.8N/kg 3×1.25kg/m3

≈4m/s；
當(dāng)風(fēng)速v=10m/s時(shí)，由ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空πr²v²，得：
ρ=

8ρ沙rg

3v2

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×10N/kg

3×(10m/s)2

=0.2kg/m³
空氣密度ρ_空隨地面高度h的變化關(guān)系為每升高1km空氣密度減少0.21㎏/m³，ρ與h的關(guān)系式是：ρ=ρ_空-0.21h；
代入數(shù)據(jù)，有：0.2=1.25-0.2h，解得h=5.25km；
故答案為：4，5.25．