Question

【題目】為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設想：取一個與水平方向夾角為，長為的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為的水平軌道BC相連，然后在C處設計一個豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示。現將一個小球從距A點高為的水平臺面上以一定的初速度水平彈出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC間的動摩擦因數均為。取。

求：（1）小球初速度的大小；

（2）小球滑過C點時的速率；

（3）要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應該滿足什么條件。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】試題分析：（1）小球離開彈簧后做平拋運動到達A點，豎直方向：由可知

在A點的速度恰好沿AB方向，由幾何關系可知：

水平方向分速度即小球的初速度

（2）從A經B到C點的過程，由動能定理得：

小球滑過C點時的速率

（3）①若小球能通過圓形軌道的最高點，做完整的圓周運動，則其不脫離軌道。

小球剛能通過最高點時，小球在最高點與軌道沒有相互作用，重力提供向心力。

根據牛頓第二定律：

小球由C運動到圓形軌道的最高點，機械能守恒：

得：，即軌道半徑不能超過1．08m。

②若小球沒有到達圓形軌道的與圓心等高處速度就減小到零，此后又沿軌道滑下，則其也不脫離軌道。

此過程機械能守恒，小球由C到達剛與圓心等高處，有：

得：，即軌道半徑不能小于2．7m。

③若圓形軌道半徑太大，就會與傾斜軌道相交，故圓形軌道半徑最大時恰遇傾斜軌道相切。

當圓軌道與AB相切時，由幾何關系得：，即圓軌道的半徑不能超過1．5m。

綜上所述，要使小球不離開軌道，R應該滿足的條件是：。