Question

【題目】如圖，x為紙面內(nèi)的一條直線，P、N是x上的兩個(gè)點(diǎn)，勻強(qiáng)磁場垂直紙面。兩個(gè)帶電粒子a、b分別從P、N同時(shí)開始在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。a的初速度垂直x向上，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，O為圓心，PC是直徑，A是圓周上的點(diǎn)；b的初速度方向是紙面內(nèi)所有可能的方向。

已知：AO連線垂直x，PO=OC=CN；a的初速度為v；a、b帶等量異種電荷，a的質(zhì)量為b的兩倍，a、b間的相互作用力及所受重力不計(jì)。

（1）求a、b的周期之比；

（2）若a、b在A點(diǎn)相遇，求b的速度大小；

（3）b的速度小于某個(gè)臨界值v0時(shí)，a、b不可能相遇，求v0的大小。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）令a質(zhì)量為m，電量為q，則b質(zhì)量為0.5m，電量為-q，設(shè)磁感強(qiáng)度為B，

帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，由： ①，②

可得： ③；由此求得： ④

（2）設(shè)a、b分別由P、N到A的時(shí)間分別為ta、tb，由

⑤； ⑥

由此可知，a粒子順時(shí)針轉(zhuǎn)了周時(shí)，b粒子逆時(shí)針轉(zhuǎn)了半周，也即NA的長度為粒子b做圓周運(yùn)動(dòng)的直徑。

設(shè)a粒子的軌道半徑為r； b粒子的速度大小為vb，運(yùn)動(dòng)軌道半徑為rb。由：

， ⑦

由幾何關(guān)系有： ⑧

聯(lián)立解得： ⑨

（3）假設(shè)b粒子的速度v’≥v0時(shí)，兩粒子能在圓周上的Q點(diǎn)相遇，如答圖所示，設(shè)PQ對(duì)應(yīng)的圓心角為，

a粒子由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為： ⑩

b粒子由N運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為：

由此可知，b運(yùn)動(dòng)到Q的過程中，粒子b轉(zhuǎn)過弧長所對(duì)應(yīng)的圓心角為，則

在中，由正弦定理得：

得： 即：

得： 又： （當(dāng)NQ與OQ垂直時(shí)取等號(hào)）

于是得到： ；即