Question

（2009?海淀區(qū)二模）如圖甲所示，真空中兩水平放置的平行金屬板C、D，上面分別開有兩對(duì)正對(duì)的小孔O₁、O₂和O₃、O₄，O₂與O₃之間的距離d=20cm．金屬板C、D接在正弦交流電源上，C、D兩板間的電壓U_CD隨時(shí)間t變化的圖線如圖乙所示．t=0時(shí)刻開始，從C板小孔O₁處連續(xù)不斷飄入質(zhì)量m=3.2×10^-25kg、電荷量q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（飄入速度很小，可忽略不計(jì)）．在D板外側(cè)有范圍足夠大勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.1T，方向垂直紙面向里，粒子受到的重力及粒子間的相互作用力均可忽略不計(jì)，平行金屬板C、D之間距離足夠小，粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可忽略不計(jì)．（取π近似等于3）

（1）帶電粒子若經(jīng)磁場的作用后恰能進(jìn)入小孔O₃，則帶電粒子從小孔O₂進(jìn)入磁場時(shí)的速度為多大？
（2）在什么時(shí)刻飄入小孔O₁的粒子，恰好能夠進(jìn)入小孔O₃？
（3）經(jīng)過小孔O₃進(jìn)入C、D兩板間的粒子，從小孔O₄射出時(shí)的動(dòng)能為多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（2）粒子恰能飛出磁場邊界，根據(jù)牛頓第二定律與動(dòng)能定理，可求出電壓；根據(jù)圖象可求出對(duì)應(yīng)的時(shí)刻；
（3）在t₁時(shí)刻飄入的粒子，經(jīng)過小孔O₃進(jìn)入C、D兩板間的粒子粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，確定粒子到達(dá)小孔O₃時(shí)刻，然后確定此時(shí)的電壓，最后根據(jù)動(dòng)能定理求出．

解答：（1）設(shè)帶電粒子小孔O₂進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v₀，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有qv0B=m

v02

R

因粒子恰好能進(jìn)入小孔O₃，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖2所示，有R=

1

2

d
解得速度v0=

qBd

2m

=5×103m/s
（2）設(shè)恰能進(jìn)入小孔O₃的粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)CD板對(duì)應(yīng)的電壓為U₀，根據(jù)動(dòng)能定理qU0=

1

2

mν02
解得U0=

mν02

2q

=25V
由于粒子帶正電，因此只有在C板電勢高（U_CD=U_C-U_D＞0）時(shí)才能被加速進(jìn)入磁場，因此解得U_CD=25 V對(duì)應(yīng)時(shí)刻分別為
t₁=（0.25+2n）×10^-4s （n=0，1，2…）
t₂=（0.75+2n）×10^-4s （n=0，1，2…）
（3）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律qv0B=

4π2mR

T2

，v0=

2πR

T

得T=

2πm

qB

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

T

2

=

πm

qB

=0.6×10^-4s
在t₁時(shí)刻飄入的粒子，經(jīng)過時(shí)間t，粒子到達(dá)小孔O₃時(shí)，C、D兩板間的電壓為U_CD=15V．粒子在兩板之間做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)小孔O₄時(shí)的動(dòng)能為E₁，根據(jù)動(dòng)能定理，得
-qUCD=E1-

1

2

m

v

2 0

解得E₁=1.6×10^-18J
在t₂時(shí)刻飄入的粒子，經(jīng)時(shí)間t，粒子到達(dá)小孔O₃時(shí)，C、D兩板間的電壓為U_CD′=-35V．粒子在兩板之間做加速速運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)小孔O₄時(shí)的動(dòng)能為E₂，根據(jù)動(dòng)能定理，得
-qUCD′=E2-

1

2

m

v

2 0

解得E₂=9.6×10^-18J
答：（1）帶電粒子從小孔O₂進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v0=5×103m/s；
（2）解得U_CD=25V，對(duì)應(yīng)時(shí)刻分別為
t₁=（0.25+2n）×10-4s（n=0，1，2…）
t₂=（0.75+2n）×10-4s（n=0，1，2…）
（3）經(jīng)過小孔O₃進(jìn)入C、D兩板間的粒子，從小孔O₄射出時(shí)的動(dòng)能為E₂=9.6×10^-18J．

點(diǎn)評(píng)：考查帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握動(dòng)能定理與牛頓第二定律的應(yīng)用，注意由左手定則來確定粒子偏轉(zhuǎn)方向，及正確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，結(jié)合幾何基礎(chǔ)知識(shí)．