Question

（2013?合肥模擬）半徑為r的光滑

1

4

圓弧軌道FE固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑，DE段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直墻面上，另一端 與質(zhì)量為2m的小物塊b剛好在D點(diǎn)接觸（不連接），彈簧處于自然長度．質(zhì)量為m的小物塊a從頂端F點(diǎn)靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向 左壓縮彈簧．物塊a，b與DE段水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度為g．
（1）求物塊a第一次經(jīng)過圓弧軌道E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）D，E間距離l取何值時(shí)，a、b能且只能發(fā)生一次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊a滑到E點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊a在E點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．
（2）根據(jù)動(dòng)能i動(dòng)力球場(chǎng)物塊a在D點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出兩物塊在D點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的速度，反彈后，返回D點(diǎn)的速度相等，根據(jù)兩物塊加速度不等，經(jīng)過D點(diǎn)后兩物塊分離．抓住小球第一次到達(dá)D點(diǎn)的速度為零，求出l的最大值．假設(shè)物塊a能滑上圓弧軌道后，返回最終停在水平軌道DE上P點(diǎn)，而物塊b已先停在P點(diǎn)，結(jié)合能量守恒求出兩物塊只發(fā)生一次碰撞l的最小值．

解答：解：（1）物塊a由F到E的過程中，由機(jī)械能守恒有：mgr=

1

2

mv12
解得第一次經(jīng)過E點(diǎn)的速度為：v1=

2gr

．
根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m

v12

r

解得：N=3mg．
由牛頓第三定律得，物塊a對(duì)軌道的壓力為3mg．
（2）物塊a從E到D的過程中，由動(dòng)能定理有：-μmgl=

1

2

mv22-

1

2

mv12
解得物塊a在D點(diǎn)的速度為：v2=

2g(r-0.2l)

物塊a、b在D點(diǎn)碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒有：mv₂=3mv₃
解得兩物塊在D點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的速度為：v3=

2g(r-0.2l)

3

．
a、b一起壓縮彈簧后，又返回D點(diǎn)的速度大小還是為：v3=

2g(r-0.2l)

3

．
由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經(jīng)過D后，a、b兩物塊分離，同時(shí)b也與彈簧分離．
①令a第一次到D點(diǎn)時(shí)的速度v₂=0，即

2g(r-0.2l)

=0
得：l=5r．
要使a、b發(fā)生碰撞，則應(yīng)為l＜5l．
②加速物塊a能滑上圓弧軌道后，返回最終停在水平軌道DE上P點(diǎn)，而物塊b已先停在P點(diǎn)，設(shè)

.

PE

=r，則

.

DP

=l-x
根據(jù)能量守恒，對(duì)a物塊有：μ1mg(l+x)=

1

2

mv32
對(duì)b物塊有：μ22mg(l-x)=

1

2

?2mv32
由以上兩式解得：x=

1

3

l．
l=

5

13

r．
要使a、b只發(fā)生一次碰撞，則：l≥

5

13

r．
綜上所述，當(dāng)5r＞l≥

5

13

r時(shí)，兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經(jīng)過圓弧軌道E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為3mg．
（2）當(dāng)5r＞l≥

5

13

r時(shí)，兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、機(jī)械能守恒的綜合運(yùn)用，在第二問中抓住只發(fā)生一次碰撞的臨界情況，結(jié)合動(dòng)能定理、能量守恒求出l的范圍．