Question

（17分）如圖所示，在坐標(biāo)系xoy的第一、第三象限內(nèi)存在相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xoy面向里；第四象限內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子自y軸的P點(diǎn)沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限，隨即撤去電場(chǎng)，以后僅保留磁場(chǎng)。已知OP=d，OQ=2d，不計(jì)粒子重力。

（1）求粒子過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向。
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為一定值B₀，粒子將以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，求B₀；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為另一確定值，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后粒子將再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，且速度與第一次過(guò)Q點(diǎn)時(shí)相同，求該粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)所用的時(shí)間。

Answer 1

（1）速度的大小，與x軸正方向的夾角；（2）；（3）。

解析試題分析：（1）粒子在電場(chǎng)力的作用下由P到Q屬于類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向?yàn)閯蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，PO為勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小就是電場(chǎng)力與質(zhì)量的比值，可計(jì)算出來(lái)；且水平方向與豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的，根據(jù)這些關(guān)系即可求出粒子過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向。（2）由于粒子是與水平方向成45°角射入磁場(chǎng)的，射出磁場(chǎng)又是垂直于y軸的，故可畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，再通過(guò)幾何關(guān)系找出半徑與d的數(shù)量聯(lián)系，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑出來(lái)了，則由粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可計(jì)算出磁場(chǎng)的大小。（3）由題意可知，粒子將再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，且速度的大小不變，說(shuō)明粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，先畫(huà)出如圖所示的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)關(guān)系確定半徑的大小，然后確定粒子通過(guò)的路程，再用路程除速度即是所用的時(shí)間。
具體的過(guò)程：
（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₀，加速度的大小為a，粒子的初速度為v₀，過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，沿y軸方向分速度的大小為v_y，速度與x軸正方向間的夾角為θ，
由牛頓第二定律得qE=ma   ①
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 ②
  ③ 
 ④    
   ⑤
  ⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式得     ⑦
      ⑧
（2）設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O₁為圓心，由幾何關(guān)系可知△O₁OQ為等腰直角三角形，得    ⑨
由牛頓第二定律得      ⑩
聯(lián)立⑦⑨⑩式得    ⑾

（3）設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，由幾何分析（粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，）O₂、O₂′是粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，Q、F、G、H是軌跡與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，連接O₂、O₂′，由幾何關(guān)系知，O₂FGO₂′和O₂QHO₂′均為矩形，進(jìn)而知FQ、GH均為直徑，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF為等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的軌跡均為半圓，得
   ⑿]
粒子在第二、第四象限的軌跡為長(zhǎng)度相等的線段，得
   ⒀
設(shè)粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則有
     ⒁
聯(lián)立⑦⑿]⒀⒁得    ⒂

考點(diǎn)：本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。