Question

【題目】如圖所示，在光滑水平面右端B處連接一個豎直的、半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從靜止開始推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)C處后水平拋出，恰好能落回A點(diǎn)，則：

（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時的速度為多大?

（2）推力對小球做了多少功?

（3）x取何值時，完成上述運(yùn)動時所做的功最少?最少功為多少?

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大��；

（2）選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．

（3）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時，由重力充當(dāng)向心力，此時C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度，然后求出最小功．

（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為，
質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)所用的時間為t，則在水平方向： ①

豎直方向上： ②

解①②有：

（2）對質(zhì)點(diǎn)從A到C，由動能定理有：

解得：

（3）要使F力做功最少，確定x的取值，由④式得，

則知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功就最�。�

若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，

由牛頓第二定律有： ，解得： ⑥
由③⑥有，

解得時， 最小，最小的功