Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個(gè)直線加速器均由k個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增長(zhǎng)的金屬圓筒組成（整個(gè)裝置處于真空中。圖中只畫(huà)出了6個(gè)圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個(gè)圓筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。設(shè)金屬圓筒內(nèi)部沒(méi)有電場(chǎng)，且每個(gè)圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可忽略不計(jì)。為達(dá)到最佳加速效果，應(yīng)當(dāng)調(diào)節(jié)至粒子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間恰為交流電的半個(gè)周期，粒子每次通過(guò)圓筒間縫隙時(shí)，都恰為交流電壓的峰值。
質(zhì)量為m、電荷量為e的正、負(fù)電子分別經(jīng)過(guò)直線加速器加速后，從左、右兩側(cè)被導(dǎo)入裝置送入位于水平面內(nèi)的圓環(huán)形真空管道，且被導(dǎo)入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切。在管道內(nèi)控制電子轉(zhuǎn)彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃……A_n，共n個(gè)，均勻分布在整個(gè)圓周上（圖中只示意性地用細(xì)實(shí)線和細(xì)虛線了幾個(gè)），每個(gè)電磁鐵內(nèi)的磁場(chǎng)都是磁感應(yīng)強(qiáng)度和方向均相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域都是直徑為d的圓形。改變電磁鐵內(nèi)電流的大小，就可改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，從而改變電子偏轉(zhuǎn)的角度。經(jīng)過(guò)精確的調(diào)整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子經(jīng)過(guò)每個(gè)電磁鐵時(shí)射入點(diǎn)和射出點(diǎn)都在電磁鐵的一條直徑的兩端，如圖（乙）所示。這就為實(shí)現(xiàn)正、負(fù)電子的對(duì)撞作好了準(zhǔn)備。
（1）若正電子進(jìn)入第一個(gè)圓筒的開(kāi)口時(shí)的速度為v₀，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒的電勢(shì)差為U，正電子進(jìn)入第二個(gè)圓筒時(shí)的速率多大？
（2）正、負(fù)電子對(duì)撞時(shí)的速度多大？
（3）為使正電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)時(shí)獲得最大動(dòng)能，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？
（4）正電子通過(guò)一個(gè)圓形磁場(chǎng)所用的時(shí)間是多少？

Answer 1

（1）   （2）
（3） （N=1、2、3……k）
（4）

（1）設(shè)正電子進(jìn)入第二個(gè)圓筒時(shí)的速率為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理
eU=
解得：v₁=
（2）正、負(fù)電子對(duì)撞時(shí)的動(dòng)能等于進(jìn)入第k個(gè)圓筒時(shí)的動(dòng)能E_k，根據(jù)動(dòng)能定理
(k-1)eU=
解得　　　
（3）設(shè)正電子進(jìn)入第N個(gè)圓筒的速率為v_N-1，第N個(gè)圓筒的長(zhǎng)度為L_N，則
L_N=v_N-1
由動(dòng)能定理得
(N-1)eU=
解得：
第N個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足的條件是：
 （N=1、2、3……k）
（4）設(shè)電子經(jīng)過(guò)1個(gè)電磁鐵的圓形磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中偏轉(zhuǎn)角度為θ，則 
由圖可知，電子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度與通過(guò)射入點(diǎn)的磁場(chǎng)直徑夾角為θ/ 2
電子在磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)作圓運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力是向心力
        　　　
∴    
根據(jù)幾何關(guān)系  
解出 
設(shè)正電子通過(guò)一個(gè)圓形磁場(chǎng)所用的時(shí)間是t，則，
　　而
所以，