Question

一宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球表面后，為了測(cè)定該星球的質(zhì)量M，做如下實(shí)驗(yàn)，取一根細(xì)線穿過(guò)光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連在一固定的測(cè)力計(jì)上，手握細(xì)直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．如圖所示，觀察測(cè)力計(jì)得到，當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的最低點(diǎn)時(shí)，測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F₁；當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的最高點(diǎn)時(shí)，測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F₂．已知引力常量為G，試根據(jù)題中提供的條件和測(cè)量結(jié)果，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）對(duì)砝碼受力分析，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由向心力的公式和整個(gè)過(guò)程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量；
（3）根據(jù)重力作為向心力，由向心力的公式可以求得星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）設(shè)砝碼在最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁+mg=m

V 2 1

R

     ①
設(shè)砝碼在最低點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂-mg=m

V 2 2

R

       ②
由機(jī)械能守恒定律得
  mg2r+

1

2

mV₁²=

1

2

mV₂²  ③
由①、②、③解得
  g=

F2-F1

6m

    ④
（2）在星球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力
  G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=

(F2-F1)R2

6mG

 
（3）由mg=m

V2

R

，
得 V=

gR

=

(F2-F1)R  6m

，
答：（1）該星球表面的重力加速度是

F2-F1

6m

；
（2）該星球的質(zhì)量M是

(F2-F1)R2

6mG

；
（3）該星球的第一宇宙速度是

(F2-F1)R  6m

．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)砝碼做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．