Question

（2006?湖北模擬）如圖所示，在空間存在這樣一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，以MN為界，上部分的均強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，下部分的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直紙面向內(nèi)，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．在距離界線為h的P點(diǎn)有一帶負(fù)電荷的離子處于靜止?fàn)顟B(tài)，某時(shí)刻該離子分解成為帶電荷的粒子A和不帶電的粒子B，粒子A質(zhì)量為m、帶電荷q，以平行于界線MN的速度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)界線MN時(shí)的速度方向與界線成60°角，進(jìn)入下部分磁場(chǎng)．當(dāng)粒子B沿與界線平行的直線到達(dá)位置Q點(diǎn)時(shí)，恰好又與粒子A相遇．不計(jì)粒子的重力．
（1）P、Q兩點(diǎn)間距離．
（2）粒子B的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律及向心力公式可求得半徑及周期，再由幾何關(guān)系即可解得P、Q間的距離；
（2）由A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可求得A從P到Q所經(jīng)歷的時(shí)間，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得B的運(yùn)動(dòng)速度；由半徑公式可求得A的速度；由動(dòng)量守恒即可求得粒子B的質(zhì)量．

解答：解：
（1）粒子A在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，設(shè)粒子A的速度為v₁，在MN上方運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₁，
根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式，qv1B1=m

v 2 1

R1

   ①
解得 R1=

mv1

qB1

=

mv1

2qB0

  ②
T1=

2πR1

v1

=

πm

qB0

 ③
同理，粒子A在MN下方運(yùn)動(dòng)半徑R₂和周期T₂分別為
R2=

mv1

qB0

=2R1   ④
T2=

2πm

qB0

=2T1   ⑤
粒子A由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到MN邊界時(shí)速度與MN的夾角為60°，如圖所示，則有

R₁-h=R₁cos60°，得到：R₁=2h  
R₂=4h  
PQ間的距離為   PQ=2R₂sin60°-2R₁sin60°=2

3

h ⑥
（2）粒子A從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所用時(shí)間為t=

2

6

T1+

2

3

T2=

5πm

3qB0

 ⑦
設(shè)粒子B的質(zhì)量為M，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)速度為v=

. PQ

t

=

6 3 hqB0

5πm

 ⑧
由 R1=2h=

mv0

2qB0

  ⑨
得到   mv₀=4qB₀h     ⑩
根據(jù)動(dòng)量守恒定律 mv₀-Mv=0 
解得：M=

10 3 πm

9

≈6m
答：（1）PQ兩點(diǎn)間的距離為2

3

h；（2）粒子B的質(zhì)量為6m．

點(diǎn)評(píng)：解決帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵在于能夠找出圓心和半徑，同時(shí)能正確利用幾何關(guān)系進(jìn)行分析求解．