Question

粗糙絕緣的水平面附近存在一個平行于水平面的電場，其中某一區(qū)域的電場線與x軸平行，且沿x軸方向的電勢?與坐標值x的關系如下表格所示：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x/m	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
φ/105v	9.00	4.50	3.00	2.25	1.80	1.50	1.29	1.13	1.00

根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)可作出如右的?-x圖象．現(xiàn)有一質量為0.10kg，電荷量為1.0×10^-7C帶正電荷的滑塊（可視作質點），其與水平面的動摩擦因素為0.20．問：
（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象給出的信息，寫出沿x軸的電勢?與x的函數(shù)關系表達式．
（2）若將滑塊無初速地放在x=0.10m處，則滑塊最終停止在何處？
（3）在上述第（2）問的整個運動過程中，它的加速度如何變化？當它位于x=0.15m時它的加速度多大？
（4）若滑塊從x=0.60m處以初速度v₀沿-x方向運動，要使滑塊恰能回到出發(fā)點，其初速度v₀應為多大？

Answer 1

分析：（1）電勢φ與坐標x圖象是一條曲線，則φ與x關系可能是反比關系，即φ∝x^-1；也可能φ與x²關系可能是反比關系，即φ∝x^-2；…，依此類推，直到找到關系為止；
（2）滑塊運動過程中，只有電場力和滑動摩擦力做功，根據(jù)動能定理列式求解即可；
（3）由于圖象的切線的斜率表示電場強度，故場強逐漸變小，電場力逐漸變��；
電場力大于摩擦力時，物體加速，當電場力減小到等于摩擦力時，速度最大，此后電場力小于摩擦力，故物體開始減速，即滑塊先由靜到動，后由動到靜，故先加速后減速；
（4）滑塊運動到最左端位置時速度為零；滑塊向左運動過程中，電場力做負功，摩擦力做負功；滑塊向右運動過程中，電場力做正功，摩擦力做負功；對滑塊運動的全部過程和向右運動的過程分別運用動能定理列式求解即可．

解答：解：（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象可得，電勢?與x成反比關系，即φ=

k

x

；
當x=0.1m時，電勢φ=4.5V，代入上述公式，得到k=4.5×10⁴
故沿x軸的電勢?與x的函數(shù)關系表達式?=

4.5×104

x

V．
（2）滑塊運動的全部過程中，只有電場力和摩擦力做功，由動能定理得
W_F+W_f=△E_K=0
設滑塊停止的位置為x₂，有
q（?₁-?₂）-μmg（x₂-x）=0
即q(

4.5×104

x

-

4.5×104

x2

)-μmg(x2-x)=0
代入數(shù)據(jù)有
1.0×10^-7(

4.5×104

0.1

-

4.5×104

x2

)-0.20×0.10×10(x2-0.1)=0
可解得x₂=0.225m（舍去x₂=0.1m）
故滑塊最終停止在坐標為0.225m的位置．
（3）先做加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動．
即加速度先減小后增大．
當它位于x=0.15m時，圖象上該點的切線斜率表示場強大小
E=

?

x

=

3.00×105

0.15

=2.0×106N/C
滑塊在該點的水平合力F_X=Eq-μmg=2.0×10⁶×1.0×10^-7-0.20×0.10×10=0
故滑塊的加速度a=

Fx

m

=0
故在上述第（2）問的整個運動過程中，它的加速度先變小后變大；當它位于x=0.15m時它的加速度為零．
（4）設滑塊到達的最左側位置為x₁，則滑塊由該位置返回到出發(fā)點的過程中
由動能定理 W_F+W_f=△E_K=0
有 q（?₁-?₂）-μmg（x-x₁）=0
代入數(shù)據(jù)有   1.0×10^-7(

4.5×104

x1

-

4.5×104

0.6

)-0.20×0.10×10(0.6-x1)=0
可解得x₁=0.0375m（舍去x₁=0.6m）．
再對滑塊從開始運動到返回出發(fā)點的整個過程，由動能定理
-2μmg（x-x₁）=0-

1

2

mv02
代入數(shù)據(jù)有2×0.20×0.10×10（0.60-0.0375）=0.5×0.10v₀²
可解得v0=

3

2

2

≈2.12m/s
即滑塊從x=0.60m處以初速度v₀沿-x方向運動，要使滑塊恰能回到出發(fā)點，其初速度v₀應為2.12m/s．

點評：本題首先要明確φ-x圖象中任意一點的切線的斜率表示電場強度的大小，由于是變加速運動，然后對各個過程分別運用動能定理列式求解．