Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)有一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，在第二象限有一與x軸負(fù)方向成45°夾角的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)是第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)的

2

倍，在第四象限內(nèi)有一垂直于平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q的負(fù)粒子（重力不計(jì)）以初速度v₀沿x軸負(fù)方向從坐標(biāo)為（3L，L）的P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，接著進(jìn)入磁場后由坐標(biāo)原點(diǎn)O射出，射出時(shí)的速度方向與x軸負(fù)方向夾角為45°．求：
（1）粒子在O點(diǎn)的速度大�。�
（2）第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E．
（3）粒子從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次離開磁場所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)Q點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，根據(jù)水平初速度求出Q點(diǎn)的速度大小，從而得出O點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合幾何關(guān)系求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，通過圓心角求出在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求出粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間．粒子進(jìn)入第Ⅱ象限后做加速度不變的往返運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，求得粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；粒子再次進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，通過圓心角求出在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子從P開始運(yùn)動(dòng)到第二次離開磁場所用的時(shí)間：t=t₁+2t₂+2t₃．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在P點(diǎn)時(shí)速度大小為v₀，OQ段為四分之一圓弧，QP段為拋物線，根據(jù)對(duì)稱性可知，粒子在Q點(diǎn)的速度大小也為V，方向與x軸正方向成45°．可得：v=

v0

cos45°

，所以：v=

2

v0

（2）Q到P過程，由動(dòng)能定理得：qEL=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

        
即：E=

m v 2 0

2qL

        
（3）在Q點(diǎn)時(shí)，v_y=v₀tan45°=v₀      
由P到Q過程中，豎直方向上有：qE=ma
所以：t1=

vy

a

=

2L

v0

  
水平方向有：x₁=v₀t=2L   
  則OQ=3L-2L=L    
得粒子在OQ段圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=

2

2

L              
Q到O的時(shí)間：t2=

1 4 ?2πR

v

=

πL

4v0

                
設(shè)粒子到M點(diǎn)的速度為零則粒子從0到M點(diǎn)所用的時(shí)間為：
t3=

2 R

v

=

2L

v0

              
粒子從P開始運(yùn)動(dòng)到第二次離開磁場所用的時(shí)間：
t=t1+2t2+2t3=

12L+πL

2v0

；
答：（1）粒子在O點(diǎn)的速度大小

2

v0．
（2）第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)是

m v 2 0

2qL

．
（3）粒子從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次離開磁場所用的時(shí)間是

12L+πL

2v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，搞清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合類平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行解決．