Question

如圖所示，內(nèi)壁光滑的空心細(xì)管彎成的軌道ABCD固定在豎直平面內(nèi)，其中BCD段是半徑R=0.25m的圓弧，C為軌道的最低點(diǎn)，CD為

1

4

圓弧，AC的豎直高度差h=0.45m．在緊靠管道出口D處有一水平放置且繞其水平中心軸OO′勻速旋轉(zhuǎn)的圓筒，圓筒直徑d=0.15m，圓筒上開有小孔E．現(xiàn)有質(zhì)量為m=0.1kg且可視為質(zhì)點(diǎn)的小球由靜止開始從管口A滑下，小球滑到管道出口D處時(shí)，恰好能從小孔E豎直進(jìn)入圓筒，隨后，小球由小孔E處豎直向上穿出圓筒．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對管壁壓力的大小和方向；
（2）圓筒轉(zhuǎn)動的周期T的可能值．

Answer 1

分析：（1）求小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對管壁壓力的大小和方向，由牛頓第三定律需求小球在C點(diǎn)受到的支持力，那么，需在C點(diǎn)列牛頓第二定律方程，就必須知道C點(diǎn)的速度，這樣就要分析小球由A到C的過程由機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度v_c．
（2）小球從E點(diǎn)做豎直上拋進(jìn)入圓筒到再從E點(diǎn)穿過圓筒，則小球運(yùn)動的這段時(shí)間與圓筒轉(zhuǎn)動的時(shí)間相等，圓筒至少轉(zhuǎn)過半周，考慮到圓筒的轉(zhuǎn)動周期，所以有t=

T

2

（2n+1）（n=0，1，2，3…），要求周期T，則必須求出小球上拋的時(shí)間t，已知位移d，須知小球的速度v_D，那么就要分析小球由A到D的過程由機(jī)械能守恒定律求出v_D．

解答：解：（1）小球從A到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=

1

2

m

v

2 c

                 
        小球在C點(diǎn)處，根據(jù)牛頓第二定律有：F_Nc-mg=

m v 2 c

R

   
        聯(lián)立以上兩式 解得：F_Nc=m（g+

v 2 c

R

）=m（g+

2gh

R

）
=0.1×（10+

2×10×0.45

0.25

）N=4.6N                  
∴由牛頓定第三定律得小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對管壁壓力的大小為4.6N，方向豎直向下．
   （2）小球從A到D的運(yùn)動過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=mgR+

1

2

m

v

2 D

   
        代入數(shù)值解得D點(diǎn)的速度：v_D=

2g(h-R)

=

2×10×(0.45-0.25)

 m/s=2m/s                         
        小球由D點(diǎn)豎直上拋至剛穿過圓筒時(shí)，由位移公式得：d=v_Dt-

1

2

gt²
         解得小球豎直上拋至剛穿過圓筒時(shí)的時(shí)間：t₁=0.1s和t₂=0.3s（舍去，∴小球向上穿過圓筒．）．                         
        小球能向上穿出圓筒所用時(shí)間滿足：t₁=

T

2

（2n+1）（n=0，1，2，3…），
        聯(lián)立解得圓筒轉(zhuǎn)動的周期T的可能值：T=

2t1

2n+1

=

0.2

2n+1

s  （n=0，1，2，3…）．
答：（1）：小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對管壁壓力的大小為4.6N，方向豎直向下．
       （2）：圓筒轉(zhuǎn)動的周期T的可能值：T=

2t1

2n+1

=

0.2

2n+1

s  （n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評：本題綜合了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、牛頓第三定律、豎直上拋運(yùn)動等規(guī)律進(jìn)行求解，必須認(rèn)真分析小球運(yùn)動的每個(gè)過程，進(jìn)行受力和運(yùn)動分析，然后把握相應(yīng)的規(guī)律求解．求圓筒轉(zhuǎn)動的周期T的可能值時(shí)一要明確二者運(yùn)動動時(shí)間相等，二要考慮圓筒運(yùn)動的周期性．