Question

一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時(shí)變?yōu)樾�圓弧形（圓弧由光滑模板形成，已畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時(shí)是傾斜的傾角是θ，AB和CD都與BC相切．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列．每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，（忽略經(jīng)BC段時(shí)的微小滑動(dòng)），斜面與箱子的摩擦因數(shù)μ（小于tanθ），要使箱子能達(dá)到D端．已知在一段相當(dāng)長的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目為N．這裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．
①皮帶速度至少為多少
②求電動(dòng)機(jī)至少的平均輸出功率P．

Answer 1

分析：本題涉實(shí)際生活、圖形信息和復(fù)雜情境，給人以無從下手的感覺．其實(shí)，本題條件是較明顯的，在題設(shè)情境下首先將小貨箱視為質(zhì)點(diǎn)，然后分清小貨箱在傳送帶的運(yùn)動(dòng)過程，以及這些過程中涉及哪些能量的轉(zhuǎn)化．這樣將復(fù)雜涉實(shí)際情境的問題還原成了熟悉的典型運(yùn)動(dòng)問題．

解答：解：（1）小貨箱先在水平面上獲得與皮帶同速，在斜面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)至少到頂速度為0，距離為：s=

h

sinθ

，又v₀²=2as，
貨箱在斜面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：
a=gsinθ-μg cosθ
故皮帶速度至少為：V₀=

2h(gsinθ-μgcosθ) sinθ

（2）水平傳送帶上小貨箱作勻加速直線運(yùn)動(dòng)速度達(dá)v₀，由于相對(duì)傳送帶滑動(dòng)，磨擦生熱機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．設(shè)小貨箱勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t、位移s、加速度為a，則有：s=

at2

2

，v₀=at．
傳送帶有：s₀=v₀t
傳送帶對(duì)小貨箱做功：fs=

1

2

m

v

2 0

故磨擦生熱：Q=fs相=f（s₀-s）=

1

2

m

v

2 0

；
小貨箱在水平加速階段，皮帶針對(duì)每一小貨箱克服摩擦力做功：W₁=2×

1

2

m

v

2 0

小貨箱在斜面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)至少到頂速度為0，距離為s=h/sinθ，有：v₀²=2a₂s，
則皮帶針對(duì)每一小貨箱要克服摩擦力做的功為W=2×

1

2

m

v

2 0

；
所以電機(jī)輸出功率用于每個(gè)小貨箱上共有W₁+W=2m

v

2 0

電機(jī)輸出功率用于N個(gè)小貨箱在水平面上加速克服摩擦，和小貨箱在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服摩擦做功
PT=2Nm

v

2 0

=2Nm

2h(gsinθ-μgcosθ)

sinθ

，
故P=

4Nmh(gsinθ-μgcosθ)

Tsinθ

答：①皮帶速度至少為

2h(gsinθ-μgcosθ) sinθ

②電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率至少為

4Nmh(gsinθ-μgcosθ)

Tsinθ

點(diǎn)評(píng)：題目看似很難，實(shí)際上是由一些簡單的題目綜合而成的，故在遇到難題時(shí)不要緊張，更不能放棄，要心平氣和的分析題目已知條件和求解之間的關(guān)系，從而最終解決問題．