Question

一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶AB段是水平的，CD段是傾斜的，動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，AB段和CD段通過(guò)極短的BC段平滑連接．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度保持不變，始終為v，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)．每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)（忽略經(jīng)BC段時(shí)的微小滑動(dòng)）．傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．
（1）為了小貨箱到達(dá)B點(diǎn)前相對(duì)于傳動(dòng)帶靜止，AB段至少多長(zhǎng)？
（2）將每個(gè)小貨箱從A點(diǎn)運(yùn)送到D點(diǎn)，因摩擦產(chǎn)生了多少熱量？
（3）求電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率？

Answer 1

分析：（1）小貨箱相對(duì)于傳送帶相對(duì)靜止前，在滑動(dòng)摩擦力作用下，做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求解AB段最小長(zhǎng)度．
（2）小貨箱從釋放到相對(duì)于傳送帶靜止過(guò)程做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出貨箱與傳送帶的相對(duì)位移s_相對(duì)大小，再根據(jù)sQ=fs_相對(duì)求熱量．
（3）根據(jù)相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)求出T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送貨箱的個(gè)數(shù)，再根據(jù)能量守恒定律求解電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率．

解答：解：（1）小貨箱相對(duì)于傳送帶相對(duì)靜止前，由動(dòng)能定理得：
  μmgs=

1

2

mv2-0
解得：s=

v2

2gμ

；
（2）設(shè)小貨箱從釋放到相對(duì)于傳送帶靜止需要時(shí)間t，則：
  t=

v

a

=

v

gμ

這段時(shí)間傳送帶向右運(yùn)動(dòng)s′，s′=vt
所以貨箱與傳送帶的相對(duì)位移s_相對(duì)=s′-s
因摩擦產(chǎn)生的熱量 Q=fs_相對(duì)=

1

2

mv2；
（3）設(shè)T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送貨箱N(xiāo)個(gè)，則 N=

vT

L

設(shè)每個(gè)貨箱由A點(diǎn)運(yùn)到D點(diǎn)需要能量E，E=Q+mgh
所以電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率為 P=

NE

T

=

N( 1 2 mv2+mgh)

T

=

v

L

(

1

2

mv2+mgh)．
答：
（1）為了小貨箱到達(dá)B點(diǎn)前相對(duì)于傳動(dòng)帶靜止，AB段至少長(zhǎng)為

v2

2gμ

．
（2）將每個(gè)小貨箱從A點(diǎn)運(yùn)送到D點(diǎn)，因摩擦產(chǎn)生的熱量為

1

2

mv2．
（3）電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率是

v

L

(

1

2

mv2+mgh)．

點(diǎn)評(píng)：題目看似很難，實(shí)際上是由一些簡(jiǎn)單的題目綜合而成的，關(guān)鍵要正確分析物體的受力情況，運(yùn)用力學(xué)基本規(guī)律，比如動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等等求解．