Question

5．如圖為機場行李貨物傳送裝置簡化圖，由水平傳送帶直線AB和半圓BC兩部分組成，傳送帶的速度大小恒為v=1m/s，AB長L=2m，圓弧半徑R=1m．現(xiàn)將質量m=10kg的貨物無初速度放上A端，貨物與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，貨物能沿圖中虛線軌跡運動．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）貨物從A運動到C的總時間；
（2）若將傳送帶速度提高，在保證貨物能傳送的到C的前提下，傳送帶最大速度多大？

Answer 1

分析 （1）貨物在摩擦力作用下在AB段先加速后勻速，求得貨物在AB段的運動時間，在BC段貨物做勻速圓周運動，由圓周半徑和運動速度大小求得時間即可；
（2）貨物在BC段圓周運動時最大靜摩擦力提供圓周運動向心力，從而求得貨物圓周運動的最大速度，再比較AB段的加速求出傳送帶的最大速度即可．

解答 解：（1）貨物從A到B在摩擦力作用下先做勻加速運動，加速度大小為：
a=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
貨物勻加速運動的時間為：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{1}{5}s=0.2s$
貨物產(chǎn)生的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×（\frac{1}{5}）^{2}m=0.1m$
所以在A到B過程中，貨物勻速運動的位移為：
x₂=L-x₁=2-0.1m=1.9m
貨物勻速運動的時間為：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{1.9}{1}s=1.9s$
綜上可知，貨物從A到B的總時間為：t=0.2+1.9s=2.1s
到達B后，貨物在BC間做勻速圓周運動，所用時間為：$t′=\frac{{L}_{BC}}{v}=\frac{3.14×1}{1}s=3.14s$
所以貨物從A到C的總時間：t_總=t+t′=2.1+3.14s=5.24s
（2）貨物在BC段勻速圓周運動，由靜摩擦力提供圓周運動向心力，據(jù)此有：
${f}_{max}=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
又最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，所以BC段的最大速度為：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{{f}_{max}R}{m}}=\sqrt{\frac{0.5×10×10×1}{10}}m/s=\sqrt{5}m/s$
貨物從AB段加速至最大速度時經(jīng)過的位移為：x=$\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2×5}m=\frac{1}{2}m＜L$
所以傳送帶的最大速度為$\sqrt{5}m/s$
答：（1）貨物從A運動到C的總時間為5.24s；
（2）將傳送帶速度提高，在保證貨物能傳送的到C的前提下，傳送帶最大速度為$\sqrt{5}m/s$．

點評 解決本題的關鍵是掌握在滑動摩擦力作用下物體在傳送帶上的運動模型，知道在圓弧部分運動向心力由傳送帶間的靜摩擦力提供．