Question

如圖6-11所示，坐標(biāo)系xOy所在的豎直面內(nèi)，有垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在x＜0的空間內(nèi)，還有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E.一個(gè)帶正電的油滴經(jīng)圖中x軸上的M點(diǎn)沿著與水平方向成α=30°的方向斜向下做直線運(yùn)動(dòng)，直到進(jìn)入x＞0的區(qū)域.要使油滴在x＞0的區(qū)域在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并通過x軸上的N點(diǎn)，且，則

圖6-11

(1)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的速率為多少？

(2)在x＞0的區(qū)域需加何種電場(chǎng)？

(3)粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)所用的時(shí)間為多少？

Answer 1

解析：油滴在x＜0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)受恒定的電場(chǎng)力和恒定的重力及洛倫茲力作用.由于電場(chǎng)力和重力兩力的合力恒定，其在垂直于油滴速度方向的分力亦恒定，而洛倫茲力始終和速度方向垂直，因此欲使油滴做直線運(yùn)動(dòng)，其在速度的垂直方向上所受合外力應(yīng)為零，可見油滴所受洛倫茲力應(yīng)為恒力.所以，油滴在x＜0區(qū)域內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)應(yīng)為勻速運(yùn)動(dòng).利用共點(diǎn)力平衡條件可求出油滴所受的洛倫茲力，繼而可求出其運(yùn)動(dòng)速率.

油滴在x＞0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件——合外力大小恒定且始終和速度方向垂直知，只有除洛倫茲力以外的其他恒力——重力和電場(chǎng)力的合力為零，由此可斷定x＞0區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)方向應(yīng)豎直向上，且應(yīng)滿足qE=mg，從而可求出E=mg/q.至于所求時(shí)間，應(yīng)分段予以計(jì)算，先由幾何關(guān)系求出半徑和的關(guān)系，可求出油滴在x＜0區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁，再根據(jù)幾何關(guān)系求出油滴在x＞0區(qū)域內(nèi)所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角，利用周期和油滴在x＞0區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系可求其運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂，t₁、t₂相加即為所求時(shí)間.

解：(1)帶電油滴在x＜0的區(qū)域內(nèi)受重力mg、電場(chǎng)力F₁=Eq和洛倫茲力F₂的作用，因油滴沿直線運(yùn)動(dòng)，故洛倫茲力F₂的方向不變.因重力mg、電場(chǎng)力F₁是恒定的，則F₂一定恒定，因此油滴速度不變，其受力如圖6-12所示.油滴帶正電，由平衡條件知

圖6-12

mg=Eq·cotα①

Bqv=②

解得v=.

(2)帶電油滴進(jìn)入x＞0的區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除受重力mg和洛倫茲力F₂外，一定要受電場(chǎng)力F₁′的作用，且F₁′=E₁q=mg③

由①③得E₁=Ecotα=3E，此為x＞0區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，因粒子帶正電，E₁的方向應(yīng)豎直向上.

(3)油滴在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6-13所示，過P作PO′⊥MP，則圓心必在PO′上.因∠PNO₁=∠O₁PN(O₁為PO′與x軸的交點(diǎn))，則O₁即為圓心位置.設(shè)半徑為R，有2×Rcos30°=R

圖6-13

又Bqv=m  =.設(shè)從M→P的時(shí)間為t₁則t₁=，設(shè)從P→N的時(shí)間為t₂

則由幾何知識(shí)知油滴在x＞0區(qū)域內(nèi)由P到N所做圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角∠PO₁N=120°，所以對(duì)應(yīng)的時(shí)間t₂=T=

因此油滴從M→N運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=t₁+t₂=.又由①②可得，所以t=.