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【題目】如圖甲所示,一輕質彈簧左端固定在墻壁上,右端與置于水平面上的質量為m的小滑塊相連。在以下的討論中小滑塊可視為質點,彈簧始終在彈性限度內,取彈簧原長時彈性勢能為0,且空氣阻力可忽略不計。

1)若水平面光滑,以彈簧原長時小滑塊的位置O為坐標原點,建立水平向右的坐標軸Ox,如圖甲所示。

①已知彈簧的勁度系數為k,請寫出彈簧彈力F與小滑塊所在位置坐標x的關系式,并借助F-x 圖像確定出將小滑塊由O點緩慢拉到位置坐標x的過程中,彈簧彈力所做的功。

②小滑塊在某輕質彈簧的作用下,沿光滑水平面在O點附近做往復運動,若從小物塊向右運動通過O點時開始計時,請在圖乙中定性畫出小物塊所受彈力F隨時間t變化的關系圖像;

若測得該彈簧的彈性勢能Ep與其位置坐標x的關系曲線如圖丙所示,其中Ep0x0皆為已知量,請根據圖丙中Ep-x圖像提供的信息求解本題中彈簧的勁度系數k′

2)若水平面不光滑,小滑塊與水平面間的動摩擦因數為μ。如圖丁所示,彈簧的勁度系數為k,O為彈簧原長位置,以距O點右側 O′為坐標原點,向右為正方向建立坐標軸O′x′。將小滑塊沿水平面向右拉到O′右側的P點,由靜止釋放小滑塊,小滑塊可以在水平面上往復運動并最終停下。已知重力加速度為g,并可認為滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等。

①證明小滑塊被釋放后第一次向左的運動的過程中,其受力特點符合以O為平衡位置的簡諧運動的受力條件。并分析如果小滑塊在O點最左方停不住,則OP點距離應滿足什么條件;

若小滑塊被釋放后能第2次經過O點而不能第3次經過O點,試分析說明O′P點距離又應滿足什么條件。

【答案】(1) ①-kx2 ,②圖見解析 (2) ①l,②l

【解析】

1)①彈力與x的關系:

F=-kx

因為F-x圖像是過原點的直線,則彈簧彈力所做的功

②如圖1所示;

2)①

即小滑塊第一次向左運動過程的受力情況與以O′為平衡位置的簡諧運動的受力相同。

對于小滑塊由P點出發(fā)向左運動的過程,假設其在最左端時,其距O點的距離為l1,由功能關系得:

即:

解得:

若小滑塊速度為零而停不住,則應有:

kl1μmg

l1代入得:

②設小滑塊速度為零時距O點的距離為l2,對其由O點左側最大位移處向右運動至速度減為零的過程,由功能關系得:

解得:

若小滑塊到達O點時速度為零,則l2=0,則

滑塊能第二次經過O點時滿足條件是

同理,小滑塊在O點右側速度為零時距O點的距離為l3,對其由O點右側最大位移處向左運動至速度減為零的過程,滿足

則若小滑塊到達O點時速度為零,則32=0,則

滑塊不能第三次經過O點時滿足條件是

O′P點距離應滿足的條件為

l

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