Question

過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m。一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點），從www..com軌道的左側(cè)A點以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0mm。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間www..com不相互重疊。重力加速度取g=10m/s²，計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位數(shù)字。試求

⑴小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大�。�

⑵如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少；

⑶在滿足（2）的www..com條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件；

⑷小球最終停留點與起點的距離。

Answer 1

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng)時， ；當(dāng)時，  

解析:

（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據(jù)動能定理

             ①

   小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

                      www..com                  ②

由①②得                                   ③

（2）設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由題意

                                           ④

               www..com www..com   ⑤

由④⑤得                                         ⑥

（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設(shè)在最高點的速度為v₃，應(yīng)滿足

                                     ⑦

                          ⑧

由⑥⑦⑧得           www..com

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動能定理

                

解得                   

為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足

               

解得               R₃= www..com 27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

                 

或              

當(dāng)時，小球最終www..com焦停留點與起始點A的距離為L′，則

               

                 

當(dāng) www..com時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則

                 www..com