Question

過山車是游樂場中常見的沒施．圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)圓形軌道組成，C、D分別是兩個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，A、C間距與C、D問距相等，半徑R₁=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v0=2

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m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道問不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求：
（1）如果小球恰能通過第一個(gè)圓形軌道，A、C間距L應(yīng)是多少；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過第一圓形軌道時(shí)，在軌道的最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的速度．對于小球從A點(diǎn)到第一圓形軌道最高點(diǎn)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求解AB間距L₁．
（2）要保證小球不脫離軌道，有兩種情況：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第二個(gè)圓軌道，與上題相似，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到與圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．
為保證圓形軌道間不相互重疊，根據(jù)幾何知識(shí)知：R₂最大值應(yīng)滿足（R1+R2）2=L²+（R1-R2）2，解得R₂．即可得到半徑R₂的可變范圍；

解答：解：（1）設(shè)小球恰能通過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理
-μmgL-2mgR₁=

1

2

mv12-

1

2

mv02 ①
最高點(diǎn)時(shí)：mg=m

v12

R1

  ②
由①②得：L=12.5m ③
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第二個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₂，應(yīng)滿足
      mg=m

v22

R2

 ④
-μmg2L-2mgR₂=

1

2

mv22-

1

2

mv02 ⑤
由③④⑤得：R₂=0.4m   ⑥
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₂′，即上升到與圓心等高的位置，
根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂′=0-

1

2

mv02
解得：R₂′=1.0m   ⑦
為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應(yīng)滿足(R1+R2′)2=L²+（(R2′-R1′)2
解得 R₂=27.9m    ⑧
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第二個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m             
答：（1）如果小球恰能通過第一圓形軌道，AB間距L₁應(yīng)是12.5m；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂的可變范圍為 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；

點(diǎn)評：選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．