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【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調查機構進行了有關網(wǎng)購的調查問卷,并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)

經(jīng)常網(wǎng)購

偶爾或不用網(wǎng)購

合計

男性

50

100

女性

70

100

合計

(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關?

(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;

②將頻率視為概率,從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望和方差.

參考公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】李克強總理在2018年政府工作報告指出,要加快建設創(chuàng)新型國家,把握世界新一輪科技革命和產業(yè)變革大勢,深入實施創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略,不斷增強經(jīng)濟創(chuàng)新力和競爭力.某手機生產企業(yè)積極響應政府號召,大力研發(fā)新產品,爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價,將該款手機按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:

單價(千元)

銷量(百件)

已知.

(1)若變量具有線性相關關系,求產品銷量(百件)關于試銷單價(千元)的線性回歸方程

(2)用(1)中所求的線性回歸方程得到與對應的產品銷量的估計值.當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時,則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從個銷售數(shù)據(jù)中任取個子,求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

(參考公式:線性回歸方程中的估計值分別為.

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【題目】已知函數(shù)是減函數(shù).

(1)試確定a的值;

(2)已知數(shù)列,求證:.

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【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關游戲,第一關解密碼鎖,3個人依次進行,每人必須在1分鐘內完成,否則派下一個人.3個人中只要有一人能解開密碼鎖,則該團隊進入下一關,否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測試,分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖.

1)若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47,求的值,并分別求出甲、乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率;

2)若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率,并且丙在1分鐘內解開密碼鎖的概率為0.5,各人是否解開密碼鎖相互獨立.

①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學期望更小.

②試猜想:該團隊以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最小,不需要說明理由.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是圓內接四邊形,,,.

1)求證:平面平面

2)設線段的中點為,線段的中點為,且在線段上運動,求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

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【題目】設集合的元素均為實數(shù),若對任意,存在,,使得,則稱元素個數(shù)最少的孿生集;稱孿生集孿生集“2級孿生集;稱“2級孿生集孿生集“3級孿生集,依此類推……

1)設,直接寫出集合孿生集;

2)設元素個數(shù)為的集合孿生集分別為,若使集合中元素個數(shù)最少且所有元素之和為2,證明:中所有元素之和為

3)若,請直接寫出級孿生集的個數(shù),及所有級孿生集的并集的元素個數(shù).

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【題目】某公司打算引進一臺設備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元,乙設備每臺9000.此外設備使用期間還需維修,對于每臺設備,一年間三次及三次以內免費維修,三次以外的維修費用均為每次1000.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)

2

3

4

5

6

甲設備

5

10

30

5

0

乙設備

0

5

15

15

15

1)設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為,求的分布列;

2)若以數(shù)學期望為決策依據(jù),希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設備?請說明理由.

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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形為正方形,已知平面,.

1)證明:

2)求與平面所成角的正弦值;

3)在棱上是否存在一點,使得平面平面?若存在,求的值并證明,若不存在,說明理由.

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【題目】將所有平面向量組成的集合記作,是從的對應關系,記作,其中、、、都是實數(shù),定義對應關系的模為:在的條件下的最大值記作,若存在非零向量,及實數(shù)使得,則稱的一個特殊值;

1)若,求;

2)如果,計算的特征值,并求相應的;

3)若,要使有唯一的特征值,實數(shù)、、應滿足什么條件?試找出一個對應關系,同時滿足以下兩個條件:①有唯一的特征值,②,并驗證滿足這兩個條件.

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【題目】在平面直角坐標系中,點到點的距離比它到軸的距離多1,記點的軌跡為;

1)求軌跡的方程;

2)求定點到軌跡上任意一點的距離的最小值;

3)設斜率為的直線過定點,求直線與軌跡恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時的相應取值范圍.

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