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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,點在棱上,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得二面角的余弦值為?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于,兩點,點滿足,點,若直線斜率為,求面積的最大值及此時直線的方程.
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【題目】在某次數(shù)學(xué)考試中,從甲、乙兩個班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,兩個班樣本成績的莖葉圖如圖所示.
(1)用樣本估計總體,若根據(jù)莖葉圖計算得甲乙兩個班級的平均分相同,求的值;
(2)從甲班的樣本不低于90分的成績中任取2名學(xué)生的成績,求這2名學(xué)生的成績不相同的概率.
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【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點,,其中.
(1)若,求的面積;
(2)在x軸上是否存在定點T,使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.
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【題目】為發(fā)揮體育核心素養(yǎng)的獨特育人價值,越來越多的中學(xué)將某些體育項目納入到學(xué)生的必修課程.惠州市某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)游泳課程,為了解學(xué)生對游泳的興趣,某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知在被抽取的學(xué)生中高一班學(xué)生有6名,其中3名對游泳感興趣,現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至少有2人對游泳感興趣的概率;
(2)該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),對游泳感興趣的學(xué)生中有部分曾在市級或市級以上游泳比賽中獲獎,具體獲獎人數(shù)如下表所示.若從高一班和高一班獲獎學(xué)生中隨機(jī)各抽取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
班級 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | 一 | |
市級 比賽獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市級以上 比賽獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
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【題目】設(shè)拋物線C:與直線交于A、B兩點.
(1)當(dāng)取得最小值為時,求的值.
(2)在(1)的條件下,過點作兩條直線PM、PN分別交拋物線C于M、N(M、N不同于點P)兩點,且的平分線與軸平行,求證:直線MN的斜率為定值.
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【題目】惠州市某商店銷售某海鮮,經(jīng)理統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量(,單位:公斤),其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進(jìn)貨1次,每銷售1公斤可獲利40元;若供大于求,剩余的海鮮削價處理,削價處理的海鮮每公斤虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其它商店調(diào)撥,調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進(jìn)貨量為14公斤,商店銷售該海鮮的日利潤為元.
(1)求商店日利潤關(guān)于日需求量的函數(shù)表達(dá)式.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,
①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).
②假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計概率,請估計日利潤不少于620元的概率.
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