在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有（1-a_n+1）（2+a_n）=2，且a_n≠0．
（Ⅰ）求證：{

1

an

+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E，F(xiàn)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，|EO|=|OF|=

3

，G為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，|GF|=4，H是GE的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上，且

HP

•

EG

=0．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且

OA

•

OB

＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

Sn

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a_n，0）．
（Ⅰ）求a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1-an+n•2n

n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

如圖甲正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，先將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B（如圖乙），在乙圖中：
（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅱ）在線段BC上找一點(diǎn)P，使AP⊥DE，并求BP．
（Ⅲ）求三棱錐D-ABC外接球的表面積．（只需用數(shù)字回答，可不寫過(guò)程）

某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能情況，從本市某高中畢業(yè)班中抽取了一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)?.0米（精確到0.1米）以上的為合格，把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成六組畫出頻率分布直方圖的一部分，如圖，已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第六小組的頻數(shù)是7．
（1）求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；
（2）若從第一小組和第二小組中隨機(jī)抽取兩個(gè)人的測(cè)試成績(jī)，則兩個(gè)人的測(cè)試成績(jī)來(lái)自同一小組的概率是多少？

已知向量

a

=（1，-3），

b

=（-1，2），

c

=（2，8）
（Ⅰ）若

c

=x

a

+y

b

，求x，y的值；
（Ⅱ）若

d

=3

a

+5

b

，求向量

a

與向量

d

的夾角．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）設(shè)b_n=log₃a_n+1，T_n是數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和，求T₂₀₁₄的值．

二階矩陣M有特征值λ=6，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量

e

=

1 1

，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，2）變換成點(diǎn)（8，4）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)（單位：秒）全部介于13與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．若從第一、第五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)一個(gè)在第一組，一個(gè)在第五組的概率．