Question

【題目】已知圓心在 軸上的圓 過點(diǎn) 和 ，圓 的方程為 ．
（1）求圓 的方程；
（2）由圓 上的動(dòng)點(diǎn) 向圓 作兩條切線分別交 軸于 ， 兩點(diǎn)，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）設(shè) ， ，

依題意得，圓 的圓心為線段 的垂直平分線 與 軸的交點(diǎn) ．

因?yàn)橹本� 的方程為 ，即 ，

所以圓心 的坐標(biāo)為 ．

所以圓 的方程為 ．

（2）設(shè)圓 上的動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，

則 ，

即 ，

解得 ．

設(shè)點(diǎn) ， ，

則直線 ： ，即 ，

因?yàn)橹本� 與圓 相切，所以 ，

化簡得 ． ①

同理得 ， ②

由①②知 ， 為方程 的兩根，

即

所以

．

因?yàn)?，

所以

．

令 ，因?yàn)?，所以 ．

所以 ，

當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， ．

所以 的取值范圍為 ．

【解析】分析：本題主要考查了圓方程的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是（1）先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用已知條件可得 和 的值，即可得圓 的方程；（2）先設(shè)圓 上的動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則可得 的取值范圍，再寫出 ， 的方程，可得 和 的坐標(biāo)，進(jìn)而可得 ，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范圍．