【題目】已知M為△ABC的中線AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的直線分別交兩邊AB、AC于點(diǎn)P、Q,設(shè)
=x , ,記y=f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=x3+3a2x+2a,x∈[0,1].若對(duì)任意x1∈[ ,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵過(guò)點(diǎn)M的直線分別交兩邊AB、AC于P、Q,
∴0<x≤1,0<y≤1
又∵ =x , =y ,
∴ = = ( + )= +
又∵P、M、Q三點(diǎn)共線,
∴ + =1,
∴y=f(x)=
由 得 ,
∴ ≤x≤1,
∴y=f(x)= ,x∈[ ,1]
(2)解:∵f(x)= = + 在[ ,1]內(nèi)是減函數(shù),
∴[f(x)]min=f(1)= ,[f(x)]max=f( )=1,
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇 ,1]
∵g'(x)=3x2+3a2≥0,
∴g(x)在[0,1]內(nèi)是增函數(shù),
∴[g(x)]min=g(0)=2a,[g(x)]max=g(1)=3a2+2a+1,
∴g(x)的值域?yàn)閇2a,3a2+2a+1]
由題設(shè)得[ ,1][2a,3a2+2a+1],
則
解得a的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[0, ]
【解析】(1)表示出向量AM,根據(jù)P、M、Q三點(diǎn)共線,得到關(guān)于x,y的等式,解出y即f(x)的解析式;(2)分別根據(jù)f(x),g(x)的單調(diào)性,求出f(x),g(x)的值域,結(jié)合集合的包含關(guān)系得到關(guān)于a的不等式組,解出即可.
【考點(diǎn)精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本,需要知道如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T在橢圓C上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若對(duì)任意的a∈(﹣3,+∞),關(guān)于x的方程f(x)=kx都有3個(gè)不同的根,則k等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=xex , g(x)=﹣(x+1)2+a,若x1 , x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,D四個(gè)不同的崗位服務(wù),每個(gè)崗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率;
(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率;
(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù),求ξ的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別為雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn),如果雙曲線上存在一點(diǎn)P,使得F2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)恰在y軸上,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為( )
A.e>
B.1<e<
C.e>
D.1<e<
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某礦山企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品需另投入萬(wàn)元,設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件,并且全部銷售完,每千件的銷售收入為萬(wàn)元,且
(Ⅰ)寫出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)問(wèn):年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?
注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 平面, 分別為和的中點(diǎn), 是邊長(zhǎng)為2 的正三角形, .
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b為正實(shí)數(shù),且 ,若a+b﹣c≥0對(duì)于滿足條件的a,b恒成立,則c的取值范圍為( )
A.
B.(﹣∞,3]
C.(﹣∞,6]
D.
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