如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲線(xiàn)Cy23x(y≥0)上的n個(gè)點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i1,2,3,,n)x軸的正半軸上,且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn))

(1)寫(xiě)出a1,a2,a3;

(2)求出點(diǎn)An(an,0)(nN*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式.

 

1a12a26,a3122ann(n1)(nN*)

【解析】(1)a12,a26,a312;

(2)依題意,得xn,yn,由此及3xn 2(an1an),即(anan1)22(an1an)

(1)可猜想:ann(n1)(nN*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:

(1)當(dāng)n1時(shí),命題顯然成立;

(2)假定當(dāng)nk時(shí)命題成立,即有akk(k1)

則當(dāng)nk1時(shí),由歸納假設(shè)及(ak1ak)22(akak1)[ak1k(k1)]22[k(k1)ak1]

(ak1)22(k2k1)ak1[k(k1)]·[(k1)(k2)]0,

解之得ak1(k1)(k2)(ak1k(k1)ak不合題意,舍去),

即當(dāng)nk1時(shí),命題也成立.所以ann(n1)(nN*)

 

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已知函數(shù)f(x)ax3x2cxd(a,c,dR)滿(mǎn)足f(0)0,f′(1)0,且f′(x)≥0R上恒成立.

(1)ac,d的值;

(2)h(x)x2bx,解不等式f′(x)h(x)<0.

 

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如圖,在直三棱柱ABC ?A1B1C1中,AC4,CB2AA12ACB60°,EF分別是A1C1,BC的中點(diǎn).

(1)證明:平面AEB平面BB1C1C;

(2)證明:C1F平面ABE;

(3)設(shè)PBE的中點(diǎn),求三棱錐P ?B1C1F的體積.

 

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已知函數(shù)ylog2(ax1)(1,2)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為________

 

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.已知矩陣AA的一個(gè)特征值λ2,其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1.設(shè)向量β,試計(jì)算A5β的值.

 

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為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi),這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的,,現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任意一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).

(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率.

(2)X3人中選擇的項(xiàng)目所屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

 

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在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且PA平面ABCD.

(1)求證:PCBD;

(2)過(guò)直線(xiàn)BD且垂直于直線(xiàn)PC的平面交PC于點(diǎn)E,且三棱錐EBCD的體積取到最大值.

求此時(shí)四棱錐EABCD的高;

求二面角ADEB的正弦值的大。

 

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已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0)F2(1,0),過(guò)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|3.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)F2的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,則F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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已知各項(xiàng)都為正的等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a7a62a5,存在兩項(xiàng)am,an使得4a1,則的最小值為________

 

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