【題目】設點到坐標原點的距離和它到直線的距離之比是一個常數(shù).
(1)求點的軌跡;
(2)若時得到的曲線是,將曲線向左平移一個單位長度后得到曲線,過點的直線與曲線交于不同的兩點,過的直線分別交曲線于點,設, , ,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析: (1)設 ,直接法求出點 的軌跡方程,由軌跡方程判斷出軌跡; (2)由已知條件求出曲線E的方程,利用向量坐標運算求出 ,設直線 的斜率為 ,聯(lián)立直線的方程和曲線E的方程,利用韋達定理求出 ,再求出 的范圍.
試題解析:(Ⅰ)過點作, 為垂足,
設點的坐標為,則,
又,所以,
故點的軌跡方程為.
可化為,顯然點的軌跡為焦點在軸上的橢圓.
(Ⅱ)時,得到的曲線的方程是,
故曲線的方程是.
設, ,則,
由,得,即.
當與軸不垂直時,直線的方程為,即,代入曲線的方程并注意到,
整理可得,
則,即,于是.
當與軸垂直時,A點的橫坐標為, ,顯然也成立.
同理可得.
設直線的方程為,聯(lián)立,
消去y整理得,
由及,解得.
又,
則.
故求的取值范圍是.
點睛:本題考查了軌跡方程的求法以及直線與橢圓相交時相關(guān)問題,屬于中檔題.在(1)中,求軌跡與求軌跡方程不一樣,把軌跡方程求出來后,再判斷是什么類型的曲線;在(2)中,注意向量坐標運算求出的表達式,再聯(lián)立直線的方程和橢圓方程求出,進而求出 的范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位名員工參加“我愛閱讀”活動,他們的年齡在25歲至50歲之間,按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(I)現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工中用分層抽樣的方法抽取12人,則年齡在第組的員工人數(shù)分別是多少?
(II)為了交流讀書心得,現(xiàn)從上述人中再隨機抽取人發(fā)言,設人中年齡在的人數(shù)為,求的數(shù)學期望;
(III)為了估計該單位員工的閱讀傾向,現(xiàn)對從該單位所有員工中按性別比例抽取的40人做“是否喜歡閱讀國學類書籍”進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:(單位:人)
喜歡閱讀國學類 | 不喜歡閱讀國學類 | 合計 | |
男 | 14 | 4 | 18 |
女 | 8 | 14 | 22 |
合計 | 22 | 18 | 40 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們能否有的把握認為該單位員工是否喜歡閱讀國學類書籍和性別有關(guān)系?
附:,其中
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知袋中裝有大小相同的2個白球、2個紅球和1個黃球.一項游戲規(guī)定:每個白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分,每一局從袋中一次性取出三個球,將3個球?qū)姆种迪嗉雍蠓Q為該局的得分,計算完得分后將球放回袋中.當出現(xiàn)第局得分()的情況就算游戲過關(guān),同時游戲結(jié)束,若四局過后仍未過關(guān),游戲也結(jié)束.
(1)求在一局游戲中得3分的概率;
(2)求游戲結(jié)束時局數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖已知橢圓C: +y2=1,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0).設圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求 的最小值;
(2)設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:丨OR丨丨OS丨為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a>0,a≠1.設命題p:函數(shù)y=loga(x+1)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;命題q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點.若p或q為真,p且q為假,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2015高考湖北(理)20】某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產(chǎn)兩種奶制品.生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利1000元;生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設備1.5小時,獲利1200元.要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個隨機變量,其分布列為
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利(單位:元)是一個隨機變量.
(Ⅰ)求的分布列和均值;
(Ⅱ) 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.
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